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雄安新区（Xiong'an New Area [1]  ），为河北省管辖的国家级新区， [2-3]  位于河北省中部，地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域， [4]  起步区面积约100平方千米，中期发展区面积约200平方千米，远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年，雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日，中共中央、国务院印发通知，决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸，在大清河水系冲积扇上，属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候，四季分明。 [8]  有南拒马河，大清河，白沟引河等河流过境，白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境，有G18荣乌高速公路，G2011青新高速公路，G45大广高速公路，S7津保高速公路，京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日，雄安新区设中国（河北）自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月，雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年，雄安新区地区生产总值为215亿元。

我们要展示一种从真值表立即转换成逻辑表达式的一般性方法。不过，给定图12-8中进位输出函数d 的情况下，可以按照如下方式进行推理，构建对应的逻辑表达式。

(1) 从第3行和第7行可知，如果y 和c 都是1，则d 是1。

(2) 从第5行和第7行可知，如果x 和c 都是1，则d 是1。

(3) 从第6行和第7行可知，如果x 和y 都是1，则d 是1。

条件(1)可以用逻辑表达式y AND c模拟，因为y AND c 只有在y 和c 都是1时才为真。同样，条件(2)可以用x AND c 模拟，而条件(3)则可通过x AND y 模拟。

所有有d=1的行都是这3种情况中的某一行。因此可以写出一个逻辑表达式，它只要在这3个条件中至少有一个成立的情况下为真即可，也就是要为这3个表达式取逻辑OR：

(y AND c) OR (x AND c) OR (x AND y)　　　　　　(12.5)

这一表达式的正确性在图12-9中得到了验证。后4列分别对应子表达式y AND c、x AND c、x AND y和表达式(12.5)。

图 12-9　对应进位输出表达式(12.5)及其子表达式的真值表

12.5.1　简化符号

在继续描述如何从真值表构建表达式之前，我们要对表示法进行一些有意义的简化。

1. 可以通过直接并列（也就是不使用任何运算符）表示AND运算符，就像表示乘法，以及第10章中表示串接时那样。

2. OR运算符可以表示为+。

3. NOT运算符可以用上横线表示。这种约定在NOT应用到单个变量上时特别实用，我们经常把NOT p 写为。

示例 12.8

表达式p AND q OR r可以写为pq+r，表达式p AND NOT q OR NOT r 则可以写为。我们甚至可以将原始符号与简化符号混用。例如，表达式

((p AND q) → r ) AND (p → s)

可以写成(pq → r ) AND (p → s)，甚至可以写成(pq → r ) (p → s)。

使用这种新表示法的一个重要原因在于，这样可以让我们把AND和OR视作算术运算中的乘法和加法。因此可以应用诸如交换律、结合律和分配律这样的类似法则，在12.8节中我们将会看到这些法则适用于这些逻辑运算符，就像这些法则对相应的算术运算符所做的那样。例如，我们会看到p(q+r)可以被pq+pr 替换，然后被rp+qp 替换，不管涉及的运算符是AND和OR，还是乘法和加法。

因为有了这种简化符号，通常可以把表达式的AND称为积，把表达式的OR称为和。表达式的AND也可以称为合取（conjunction），而表达式的OR还可以叫作析取（disjunction）。

12.5.2　从真值表构建逻辑表达式

任何布尔函数都可以用使用AND、OR和NOT运算符的逻辑表达式表示。为给定的布尔函数找到最简单的表达式一般是很难的。不过，为布尔函数构建某一表达式却很容易，用到的技巧也很简单。首先从函数的真值表开始，构建形如

m1 OR m2 OR…OR mn

的逻辑表达式。各个mi 都是与真值表中让函数的值为1的某一行对应的。因此该表达式中项数与表示函数的那列中1的个数是相等的。这些mi 项都被叫作最小项（minterm），并具有下面将要描述的特殊形式。

要开始对最小项的解释，首先要提到文字（literal），这里的文字要么为单个命题变量（比如p），要么为求反变量（比如我们一般会写为p 的NOT p）。如果真值表中有k 列表示变量的列， 那么每个最小项都是由k 个文字的逻辑AND（或“积”）表示的。设r 是我们想为其构建最小项的某一行。如果变量p 在行r 的值是1，就选择文字p。如果p 在行r 的值是0，则选择p 作为文字。行r 的最小项就是各变量对应文字的积。明确地讲，如果所有变量都有真值表行r 中的值，那么最小项的值就只可能是1。

现在要通过为与函数值为1的行对应的最小项求逻辑OR（或“和”），来为函数构建表达式。得到的表达式具有“积的和”的形式，或者说它是析取范式（disjunctive normal form）。该表达式是正确的，因为只有在存在值为1的最小项时，它的值才是1，而除非变量的值对应着真值表中该最小项所在的那行，而且该行的值为1，否则该最小项不可能为1。

示例 12.9

我们来为由图12-8中的真值表所定义的进位输出函数d 构建析取范式。值为1的行的编号分别是3、5、6和7。第3行有x=1、y=1和c=1，因此该行的最小项是 AND y AND c，可以将其简写为。类似地，第5行的最小项是，第6行的最小项是，而第7行的最小项是xyc。因此所需的对应d 的表达式就是这些表达式的逻辑OR，也就是

　　　　　　(12.6)

这一表达式要比(12.5)更复杂。不过，我们将在12.6节中看到如何得出表达式(12.5)。

同样，通过把对应第1、2、4和7行的最小项相加，可以为和值位z 构建逻辑表达式，得到

运算符的完全集

用来设计(12.6)式这样析取范式的最小项技术表明，逻辑运算符AND、OR和NOT的集合是完全集，就是说，每个布尔函数都具有只使用这3种运算符的表达式。不难证明NAND本身也是完全的。我们可以将涉及AND、OR和NOT的函数只用NAND表示成如下这样。

1. ( p AND q)≡(( p NAND q) NAND TRUE)

2. ( p OR q)≡(( p NAND TRUE ) NAND (q NAND TRUE ))

3. ( NOT p)≡(p NAND TRUE)

通过用合适的NAND表达式来替换用到AND、OR和NOT的地方，可以把任何析取范式转换成只涉及NAND的表达式。同样，NOR自身也是完全的。

由运算符AND和OR构成的集合就不是完全集。比方说，它们没法表示函数NOT。要知道原因，我们可以注意到AND和OR都是单调的，这就是说，在把任何一个输入从0变为1时，输出都不能从1变成0。可以通过对表达式的大小进行归纳，证明任何只有AND和OR运算符的表达式都是单调的。不过NOT显然不是单调的，因此没办法只用AND和OR表示NOT。

图 12-10　用于习题的两个布尔函数

12.5.3　习题

1. 图12-10是用变量p、q 和r 定义a 和b 这两个布尔函数的真值表，为这两个函数分别写出析取范式。

2. 为下列函数写出合取范式（见下面的附注栏“和的积表达式”）。

(a) 图12-10中的函数a。

(b) 图12-10中的函数b。

(c) 图12-8中的函数z。

和的积表达式

有两种方式可以把真值表转换成涉及AND、OR和NOT的表达式，这里的表达式将会是文字之和（逻辑OR）的积（逻辑AND）。这种形式就叫作“和的积”，或合取范式（conjunction normal form）。

对真值表的各行而言，我们可以定义最大项，它是与所在行中某一参数变量的值不相同的文字的和。也就是说，如果该行中变量p 的值是0，就使用文字p，如果那行中p 的值为1，就使用。因此，除非每个变量p 都具有该行指定给p 的值，否则最大项的值就是1。

因此，如果查看真值表中值为0的各行，并为这些行的最大项取逻辑AND，该表达式就只会在输入匹配函数值为0的某一行时值为0。这样一来，该表达式对其他各行而言值都为1，也就是对真值表中函数值为1的那些行来说都是1。例如，图12-8的真值表中，第0、1、2和4行对应d 的值为0。比方说，第0行的最大项就是x+y+c，而第1行的最大项就是，所以d 的合取范式就是

该表达式与(12.5)和(12.6)式都是等价的。

3. ** 以下哪个逻辑运算符可以单独形成运算符完全集：(a)≡；(b)→；(c)NOR？在每种情况中都对自己的答案加以证明。

4. ** 在16个双变量的布尔函数中，有多少函数自身就是完全的？

5. * 证明，单调函数的AND和OR还是单调的。然后证明只含AND和OR运算符的表达式都是单调的。

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