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徐州，简称“徐”，古称彭城，是江苏省地级市，国务院批复确定的国家历史文化名城，全国性综合交通枢纽，淮海经济区中心城市。 [1]  截至2019年，徐州下辖5个市辖区、3个县、2个县级市，总面积11258平方千米 [2]  ，常住人口882.56万人。 [3] 

徐州地处华北平原东南部、江苏省西北部，京杭大运河穿境而过，陇海铁路、京沪铁路两大干线在此交汇，素有“五省通衢"之称。 [4]  徐州是华东重要门户城市 [5]  ，华东地区重要的经济、科教、文化、金融、医疗和对外贸易中心，也是国家“一带一路”重要节点城市、长三角北翼重要中心城市 [6]  ，徐州都市圈核心城市，国际新能源基地，有“中国工程机械之都”的美誉。

原始社会末期，帝尧时彭祖建大彭氏国，是江苏境内最早出现的城邑。徐州历史上为华夏九州之一 [7]  ，自古便是北国锁钥、南国门户、兵家必争之地和商贾云集中心，也是淮海地区的政治、经济、文化中心 [8]  。徐州有超过6000年的文明史和2600年的建城史，是著名的帝王之乡，有“九朝帝王徐州籍”之说 [9]  。徐州是两汉文化的发源地，有“彭祖故国、刘邦故里、项羽故都”之称，因其拥有大量文化遗产、名胜古迹和深厚的历史底蕴，也被称作“东方雅典” [5]  。

徐州属温带季风气候，四季分明，有云龙湖、云龙山、彭祖园、楚王陵、潘安湖、大龙湖、窑湾古镇等旅游景点，有彭祖、刘邦、孙权、李煜等历史名人。 [4]  徐州先后获得中国优秀旅游城市、全国文明城市、联合国人居奖等称号。 [10]  2021年9月，第十三届中国（徐州）国际园林博览会将在徐州举办，展期4个月。

　我还是不太明白这是什么意思……

　我们假设这张图中标记的位置就是初始值（图 2-18）。

图 2-18

　啊，我好像有点明白了。从这个点开始找，似乎可以求出最小值。

　那你说说，什么情况下反而求不出最小值呢？

　是不是把这里作为初始值的情况（图 2-19）？好像没计算完就会停止。

图 2-19

　没错。这就是陷入局部最优解。

　这个算法虽然简单，但是容易发生各种问题呀。这可是你花费了这么多时间教给我的算法，太遗憾了。

　没事儿，最速下降法也不会白学，随机梯度下降法就是以最速下降法为基础的。

　是这样啊。

　你还记得最速下降法的参数更新表达式吗？

　嗯，就是表达式 2.5.10 吧？

　对。这个表达式使用了所有训练数据的误差，而在随机梯度下降法中会随机选择一个训练数据，并使用它来更新参数。这个表达式中的  就是被随机选中的数据索引。

　 变没啦。

　最速下降法更新 1 次参数的时间，随机梯度下降法可以更新  次。此外，随机梯度下降法由于训练数据是随机选择的，更新参数时使用的又是选择数据时的梯度，所以不容易陷入目标函数的局部最优解。

　随机选择训练数据来学习这种做法看起来有些敷衍，真的能找到答案吗？

　虽然有些不可思议，但实际上的确会收敛。

　真是不可思议……

　我们前面提到了随机选择 1 个训练数据的做法，此外还有随机选择  个训练数据来更新参数的做法。

　这样啊，那具体选择几个是可以由自己决定的吧？

　嗯，设随机选择  个训练数据的索引的集合为 ，那么我们这样来更新参数。

　关于  的更多内容，请参考附录 A.1。

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