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发表日期： 2021-04-24 13:07:53 浏览次数：179

徐州，简称“徐”，古称彭城，是江苏省地级市，国务院批复确定的国家历史文化名城，全国性综合交通枢纽，淮海经济区中心城市。 [1] 截至2019年，徐州下辖5个市辖区、3个县、2个县级市，总面积11258平方千米 [2] ，常住人口882.56万人。 [3]

徐州地处华北平原东南部、江苏省西北部，京杭大运河穿境而过，陇海铁路、京沪铁路两大干线在此交汇，素有“五省通衢"之称。 [4] 徐州是华东重要门户城市 [5] ，华东地区重要的经济、科教、文化、金融、医疗和对外贸易中心，也是国家“一带一路”重要节点城市、长三角北翼重要中心城市 [6] ，徐州都市圈核心城市，国际新能源基地，有“中国工程机械之都”的美誉。

原始社会末期，帝尧时彭祖建大彭氏国，是江苏境内最早出现的城邑。徐州历史上为华夏九州之一 [7] ，自古便是北国锁钥、南国门户、兵家必争之地和商贾云集中心，也是淮海地区的政治、经济、文化中心 [8] 。徐州有超过6000年的文明史和2600年的建城史，是著名的帝王之乡，有“九朝帝王徐州籍”之说 [9] 。徐州是两汉文化的发源地，有“彭祖故国、刘邦故里、项羽故都”之称，因其拥有大量文化遗产、名胜古迹和深厚的历史底蕴，也被称作“东方雅典” [5] 。

徐州属温带季风气候，四季分明，有云龙湖、云龙山、彭祖园、楚王陵、潘安湖、大龙湖、窑湾古镇等旅游景点，有彭祖、刘邦、孙权、李煜等历史名人。 [4] 徐州先后获得中国优秀旅游城市、全国文明城市、联合国人居奖等称号。 [10] 2021年9月，第十三届中国（徐州）国际园林博览会将在徐州举办，展期4个月。

　嗯，不过这次跟箭头没有关系。我们想要做的只是把 $\theta$ 和 $x$ 用列向量来定义而已。你知道列向量吗？

　列向量是这样定义的吧？我记得向量的符号要用黑体。

$\boldsymbol{\theta}=\begin{bmatrix}\theta_0\\\theta_1\\\theta_2\\\vdots\\\theta_n\end{bmatrix}\quad\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.5.3)$

　对！你还记得要用黑体，真厉害。不过有一点很可惜，你写的 $\boldsymbol{\theta}$ 和 $\boldsymbol{x}$ 的维度不同，处理起来会很麻烦。

　你这么说我也没办法改呀，我已经把该写的符号都写上了……

　向量的元素不一定全都是符号哦，可以这样修改你写的向量。

$\boldsymbol{\theta}=\begin{bmatrix}\theta_0\\\theta_1\\\theta_2\\\vdots\\\theta_n\end{bmatrix}\quad\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}1\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.5.4)$

　欸，可以随便加上 1 吗？

　等到开始计算时你就明白了，像这样一开始就加上 1 反而更自然。 $\theta$ 的下标是从 0 开始的，为了与其相配合，设 $x_0=1$ ，让 $\boldsymbol{x}$ 的第一个元素为 $x_0$ 会更加整齐。

$\boldsymbol{\theta}=\begin{bmatrix}\theta_0\\\theta_1\\\theta_2\\\vdots\\\theta_n\end{bmatrix}\quad\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\quad(x_0=1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.5.5)$

　嗯，维度和下标都相同了，确实整齐了……

　那么，把 $\boldsymbol{\theta}$ 转置之后，计算一下它与 $\boldsymbol{x}$ 相乘的结果吧。

　也就是计算 $\boldsymbol{\theta}^{{\rm T}}\boldsymbol{x}$ 吧？把二者相应的元素相乘，然后全部加起来。

$\boldsymbol{\theta}^{{\rm T}}\boldsymbol{x}=\theta_0x_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+\cdots+\theta_nx_n\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.5.6)$

　这个表达式应该见过吧？注意一下 $x_0=1$ 的部分。

　这不就是刚才的表达式 2.5.2 吗？！

　是的。也就是说，之前用多项式表示的 $f_{\theta}$ ，可以像这样用向量来表示。虽然我们说的是向量，但实际在编程时只需用普通的一维数组就可以了。

$f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{\theta}^{{\rm T}}\boldsymbol{x}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.5.7)$

　哇，表达式变得好简单啊！刚才你说要简化表达式的写法，原来是这么回事啊。

　是的。接下来我们就使用 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 来求参数更新表达式吧，方法与之前一样。

　好的。使用向量……欸？使用向量又该怎么求呢？

　设 $u=E(\boldsymbol{\theta})$ 、 $v=f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$ 的部分是一样的。为了一般化，我们可以考虑对第 $j$ 个元素 $\theta_j$ 偏微分的表达式。

${{\partial u}\over{\partial\theta_j}}={{\partial u}\over{\partial v}}\cdot{{\partial v}\over{\partial\theta_j}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.5.8)$

　我懂了。 $u$ 对 $v$ 微分的部分是一样的，所以只需要求 $v$ 对 $\theta_j$ 的微分就好了。这样做对吗？

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