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徐州，简称“徐”，古称彭城，是江苏省地级市，国务院批复确定的国家历史文化名城，全国性综合交通枢纽，淮海经济区中心城市。 [1]  截至2019年，徐州下辖5个市辖区、3个县、2个县级市，总面积11258平方千米 [2]  ，常住人口882.56万人。 [3] 

徐州地处华北平原东南部、江苏省西北部，京杭大运河穿境而过，陇海铁路、京沪铁路两大干线在此交汇，素有“五省通衢"之称。 [4]  徐州是华东重要门户城市 [5]  ，华东地区重要的经济、科教、文化、金融、医疗和对外贸易中心，也是国家“一带一路”重要节点城市、长三角北翼重要中心城市 [6]  ，徐州都市圈核心城市，国际新能源基地，有“中国工程机械之都”的美誉。

原始社会末期，帝尧时彭祖建大彭氏国，是江苏境内最早出现的城邑。徐州历史上为华夏九州之一 [7]  ，自古便是北国锁钥、南国门户、兵家必争之地和商贾云集中心，也是淮海地区的政治、经济、文化中心 [8]  。徐州有超过6000年的文明史和2600年的建城史，是著名的帝王之乡，有“九朝帝王徐州籍”之说 [9]  。徐州是两汉文化的发源地，有“彭祖故国、刘邦故里、项羽故都”之称，因其拥有大量文化遗产、名胜古迹和深厚的历史底蕴，也被称作“东方雅典” [5]  。

徐州属温带季风气候，四季分明，有云龙湖、云龙山、彭祖园、楚王陵、潘安湖、大龙湖、窑湾古镇等旅游景点，有彭祖、刘邦、孙权、李煜等历史名人。 [4]  徐州先后获得中国优秀旅游城市、全国文明城市、联合国人居奖等称号。 [10]  2021年9月，第十三届中国（徐州）国际园林博览会将在徐州举办，展期4个月。

　那么即使增加参数，比如有 、 等，我们依然可以用同样的方法求出它们的更新表达式吗？

　是的。像这样增加函数中多项式的次数，然后再使用函数的分析方法被称为多项式回归。

　之前我还以为会很难，都有些紧张了……现在放心多了。

2.5　多重回归

　关于回归还有些内容，我们一口气把它说完吧。

　这次难度要上升了吧……

　之前我们是根据广告费来预测点击量的。

　嗯，是以这个为前提的。

　但是，实际中要解决的很多问题是变量超过 2 个的复杂问题。

　你的意思是对于那种问题，要用到刚才讲多项式回归时提到的  和  等多次项吗？

　不是哦。多项式回归问题中确实会涉及不同次数的项，但是使用的变量依然只有广告费一项。

　欸，是这样吗？你说的我有点不明白啊。

　我们稍微扩展一下之前设置的问题吧。之前只是根据广告费来预测点击量，现在呢，决定点击量的除了广告费之外，还有广告的展示位置和广告版面的大小等多个要素。

　啊，我懂了。原来你说变量超过 2 个是这个意思。

　不过之前变量只有广告费，所以我们还可以用图来展示，现在变量达到了 3 个以上，就无法可视化了。后面我们也就无法画出图像了。

　欸，想不出接下来要做什么……

　不过只要好好理解了之前讲过的内容，那么即使变量增加了，也不会变得很难哦。

　相信自己的实力！我一定会跟上的……

　为了让问题尽可能地简单，这次我们只考虑广告版面的大小，设广告费为 、广告栏的宽为  、广告栏的高为 ，那么  可以表示如下，这里有没有问题？

　函数接收的变量之前只有 1 个 ，现在增加到 3 个了。只有这一点变化，所以我没有问题。

　那这个时候，该如何去求参数  呢？

　分别求目标函数对  的偏微分，然后更新参数就行了吧？

　没错！看来你已经熟悉这套做法了。

　哎哟～这次也挺简单的，太好了。那么流程上接下来要做的就是实际去求偏微分了吧？

　这个还得等一下，我们可以先试着简化表达式的写法。

　表达式的写法？什么意思？

　刚才我们说有 、 、 共 3 个变量，下面我们把它推广到有  个变量的情况。这时候  会变成什么样子呢？

　只要写出  个变量就行了吧，这样对吗？

　嗯，对的。不过每次都像这样写  个  岂不是很麻烦？所以我们还可以把参数  和变量  看作向量。

　关于向量的更多内容，请参考附录 A.5。

　我记得向量有大小和方向，并要用箭头来表示。这里要用到它吗？

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