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发表日期： 2021-04-24 11:27:14 浏览次数：285

徐州，简称“徐”，古称彭城，是江苏省地级市，国务院批复确定的国家历史文化名城，全国性综合交通枢纽，淮海经济区中心城市。 [1] 截至2019年，徐州下辖5个市辖区、3个县、2个县级市，总面积11258平方千米 [2] ，常住人口882.56万人。 [3]

徐州地处华北平原东南部、江苏省西北部，京杭大运河穿境而过，陇海铁路、京沪铁路两大干线在此交汇，素有“五省通衢"之称。 [4] 徐州是华东重要门户城市 [5] ，华东地区重要的经济、科教、文化、金融、医疗和对外贸易中心，也是国家“一带一路”重要节点城市、长三角北翼重要中心城市 [6] ，徐州都市圈核心城市，国际新能源基地，有“中国工程机械之都”的美誉。

原始社会末期，帝尧时彭祖建大彭氏国，是江苏境内最早出现的城邑。徐州历史上为华夏九州之一 [7] ，自古便是北国锁钥、南国门户、兵家必争之地和商贾云集中心，也是淮海地区的政治、经济、文化中心 [8] 。徐州有超过6000年的文明史和2600年的建城史，是著名的帝王之乡，有“九朝帝王徐州籍”之说 [9] 。徐州是两汉文化的发源地，有“彭祖故国、刘邦故里、项羽故都”之称，因其拥有大量文化遗产、名胜古迹和深厚的历史底蕴，也被称作“东方雅典” [5] 。

徐州属温带季风气候，四季分明，有云龙湖、云龙山、彭祖园、楚王陵、潘安湖、大龙湖、窑湾古镇等旅游景点，有彭祖、刘邦、孙权、李煜等历史名人。 [4] 徐州先后获得中国优秀旅游城市、全国文明城市、联合国人居奖等称号。 [10] 2021年9月，第十三届中国（徐州）国际园林博览会将在徐州举办，展期4个月。

　就是这样。如果 $\eta$ 较大，那么 $x:=x-\eta(2x-2)$ 会在两个值上跳来跳去，甚至有可能远离最小值。这就是发散状态。而当 $\eta$ 较小时，移动量也变小，更新次数就会增加，但是值确实是会朝着收敛的方向而去。

　原来是这么回事啊，我现在非常明白了。

　那我们回过头来看一下目标函数 $E(\theta)$ 。还记得目标函数的表达式吗？

　你是说表达式 2.3.2 吗？

$E(\theta)={1\over2}\sum^n_{i=1}\bigl(y^{(i)}-f_{\theta}(x^{(i)})\bigr)^2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.3.8)$

　是的。这个目标函数和刚才例子中的 $g(x)$ 同样是开口向上的形状，所以刚才讨论的内容也同样适用于它。不过这个目标函数中包含 $f_{\theta}(x)$ ，从表达式 2.3.1 又可以看出， $f_{\theta}(x)$ 拥有 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 两个参数。也就是说这个目标函数是拥有 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 的双变量函数，所以不能用普通的微分，而要用偏微分。如此一来，更新表达式就是这样的。

$\begin{aligned}&\theta_0:=\theta_0-\eta{{\partial E}\over{\partial\theta_0}}\\&\theta_1:=\theta_1-\eta{{\partial E}\over{\partial\theta_1}}\quad\quad\quad\quad\quad(2.3.9)\end{aligned}$

　我感觉开始变难了……表达式 2.3.5 的 $g(x)$ 变成了 $E$ ，然后要用偏微分对吧？

　关于偏微分的更多内容，请参考附录 A.3。

　是的。下面我们实际地计算一下偏微分。首先从表达式 2.3.9 的 $\theta_0$ 的偏微分表达式开始。绫乃，这个你会吗？

　这个……欸， $E$ 中怎么没有 $\theta_0$ 啊？啊，对了， $\theta_0$ 在 $f_{\theta}(x)$ 里面呢。还得去展开平方，好像很难呀……

　正面去突破它是很麻烦的，我们可以使用复合函数的微分。就像你刚才说的， $E(\theta)$ 中有 $f_{\theta}(x)$ ，而 $f_{\theta}(x)$ 中又有 $\theta_0$ ，所以我们可以这样分别去考虑它们。

$\begin{aligned}&u=E(\theta)\\&v=f_{\theta}(x)\quad\quad\quad\quad\quad(2.3.10)\end{aligned}$

　关于复合函数的更多内容，请参考附录 A.4。

　然后再像这样阶梯性地进行微分。

${{\partial u}\over{\partial\theta_0}}={{\partial u}\over{\partial v}}\cdot{{\partial v}\over{\partial\theta_0}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.3.11)$

　原来这就是复合函数的微分。那我先从 $u$ 对 $v$ 微分的地方开始计算。把函数展开后再分别求微分就行了吧？

$\begin{aligned}{{\partial u}\over{\partial v}}&={{\partial}\over{\partial v}}\Biggl({1\over2}\sum^n_{i=1}\biggl(y^{(i)}-v\biggr)^2\Biggr)\\&={1\over2}\sum^n_{i=1}\Biggl({{\partial}\over{\partial v}}\biggl(y^{(i)}-v\biggr)^2\Biggr)\\&={1\over2}\sum^n_{i=1}\Biggl({{\partial}\over{\partial v}}\biggl(y^{(i)^2}-2y^{(i)}v+v^2\biggr)\Biggr)\\&={1\over2}\sum^n_{i=1}\biggl(-2y^{(i)}v+2v\biggr)\\&=\sum^n_{i=1}\biggl(v-y^{(i)}\biggr)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.3.12)\end{aligned}$

　在最后一行，常数与 $\frac{1}{2}$ 相抵消了，微分后的表达式变简单了吧？这就是一开始乘以 $\frac{1}{2}$ 的理由。

　原来是这么回事啊。表达式确实变整洁了。下面就是 $v$ 对 $\theta_0$ 进行微分的部分了。

$\begin{aligned}{{\partial v}\over{\partial\theta_0}}&={{\partial}\over{\partial\theta_0}}(\theta_0+\theta_1x)\\&=1\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2.3.13)\end{aligned}$

　做得不错。接下来只要依照复合函数的微分表达式 2.3.11 将各部分的结果相乘，就可以得到对 $\theta_0$ 进行微分的结果了。对了，不要忘了把表达式 2.3.12 中的 $v$ 替换回 $f_{\theta}(x)$ 。

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