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发表日期： 2021-04-20 15:24:37 浏览次数：370

磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1] 2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2]

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1] 磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

12.8.1　等价的法则

首先要从一些与等价如何起效有关的结论开始。大家应该注意到等价性在这里的双重身份。它是我们在逻辑表达式中使用的众多运算符之一。不过，它也是表示两个表达式“相等”并能互相替换的符号。因此形如E1≡E2这样的重言式表明了一些与E1和E2有关的信息，即利用“相等可以由相等替换”的原则，它们在更大的表达式中是可以相互替换的。

此外，我们可以利用等价证明其他的等价。如果有一列表达式E1、E2、…、Ek，满足每个表达式都能通过相等换相等的替换从前一个表达式得到，那么在用相同的真值赋值为这些表达式求值时，它们会得到相同的值。这样一来，E1≡Ek 一定是重言式。

12.1 等价的自反性：p≡p。

正如我们要陈述的所有法则一样，替换原则是适用的，这样可以用任意表达式代替p。因此该法则表明任何表达式都是与自身等价的。

12.2 等价的交换律：(p≡q)≡(q≡p)。

非正式地讲，当且仅当q 等价于p 时有p 等价于q。根据替换原则，如果任一表达式E1与另一表达式E2等价，那么E2就等价于E1。因此E1和E2是可以互相替换的。

12.3 等价的传递性：((p≡q)AND(q≡r))→(p≡r)。

非正式地讲，如果p等价于q，而且q等价于r，那么p就等价于r。这条法则具有一个重要的推论，如果我们得出E1≡E2和E2≡E3是重言式，那么E1≡E3也是重言式。

12.4 否定的等价： $(p\equiv q)\equiv(\overline{p}\equiv\overline{q})$ 。

当且仅当两个表达式的否定等价时，这两个表达式是等价的。

12.8.2　类似算术的法则

在算术运算符+、×和一元减号与逻辑运算符OR、AND和NOT之间存在一种类比。因此以下法则应该不会让大家感到意外。

12.5 AND运算的交换律：pq≡qp。

非正式地讲就是，只有在qp 为真时，pq 才为真。

12.6 AND运算的结合律：p(qr )≡(pq)r。

非正式地讲，要为3个变量（或表达式）的AND分组，既可以先取前两个变量（或表达式）的AND，也可以先取后两个变量（或表达式）的AND。此外，加上法则12.5，我们可以证明任意一系列命题或表达式的AND都可以按照我们的意愿随意排列和分组——结果都是相同的。

12.7 OR运算的交换律：(p+q)≡(q+p)。

12.8 OR运算的结合律：(p+(q+r ))≡((p+q)+r )。

这一法则和法则12.7表明了任何表达式集的OR都可以随意分组。

12.9 AND对OR的分配律：p(q+r)≡(pq+pr)。

也就是说，如果我们希望为p 和两个命题或表达式的OR取AND，既可以先取OR，也可以对p 与各表达式先取AND，得到的结果是相同的。

12.10 1（TRUE）是AND的单位元：p AND 0≡p。

请注意，(1 AND p)≡p 也是重言式。我们不需要说出它，因为它可由替换原则和之前的法则得出。也就是说，可以在12.5（AND的结合律）中用1替换p 并用p 替换q，从而得到重言式(1 AND p)≡(p AND 1)。然后，应用12.3（等价的传递性），就得到(1 AND p)≡p。

12.11 0（FALSE）是OR的单位元：(p OR 1)≡p。

同样地，可以利用与12.10如出一辙的论证，得出(0 OR p)≡p。

12.12 0是AND的零元：(p AND 0)≡0。4

4当然(0 AND p)0也成立，我们之后不会再提到那些结合律的结果。

回想一下10.7节，运算符的零元是指这样一个常数，我们对该常数和任意值应用该运算符所得到的值都是该零元。请注意，在算术运算中，0是×的零元，但+是没有零元的。不过，我们会看到1是OR的零元。

12.13 双重否定的抵消：(NOT NOT p)≡p。

算术和逻辑运算符类比的利用
我们使用对应AND和OR的简写符号时，往往可以假装自己是在处理乘法和加法，正如我们在法则12.5到12.12中所使用的。这是种优势，因为我们对相应的算术运算法则是非常熟悉的。因此，大家应该能很快用pr+ps+qr+qs 或q(s+r )+(r+s)p 来替换(p+q)(r+s)。
更难也是更需要练习的部分就是应用那些与算术运算不相似的法则。比如德摩根律和OR对AND的分配律。例如，用(p+r )(p+s)(q+r )(q+s)替换pq+rs 是可以的，但要看出这是通过3次应用OR对AND的分配律，并利用交换律和结合律得到的，需要费一些思量。

12.8.3　`AND`和`OR`与加和乘的区别

还有很多法则表现出了AND和OR与算术运算符×和+的区别，这里要列举一些。

12.14 OR对AND的分配律：(p+qr)≡(p+q)(p+r ))。

就像AND可以对OR分配那样，OR也可以对AND分配。请注意，相似的算术形式，x+yz≡(x+y)(x+z)一般而言是不成立的。

12.15 1是OR的零元：(1 OR p)≡1。

请注意，相似的算术形式1+x=1一般来说是不成立的。

12.16 AND的幂等性：pp≡p。

回想一下，当运算符应用到某相同值的两个副本时，得到的结果还是该值，就说该运算符是幂等的。

12.17 OR的幂等性：p+p≡p。

请注意， ×和+都不是幂等的。也就是说，一般来说x×x=x 和x×x=x 都是不成立的。

12.18 吸收律。

这一法则有两个版本，取决于我们想消除的是多余的积还是多余的和。

(a) (p+pq)≡p

(b) p(p+q)≡p

请注意，如果在(a)中用任意文字积替换p，并用另一个文字积替换q，就可以说，在析取范式中，可以消除那些具有其他某个积所含文字之超集的积。较小的集合就被吸收到超集之中。在(b)部分中，我们对合取范式作出同样的说明，可以消除那些是其他某个和中文字之超集的和。

12.19 某些否定的消除。

(a) $p(\overline{p}+q)\equiv pq$

(b) $p+\overline{p}q\equiv p+q$

请注意，(b)就是我们在12.2节中解释莎莉的条件为何能替换山姆的条件时用到过的法则。

12.8.4　德摩根律

还有两条法则让我们可以把NOT压入AND和OR的表达式中，得到一个由各命题变量的否定组成的表达式。得到的表达式是应用到文字的AND-OR表达式。从直觉上讲，如果们为具有AND和OR的表达式取反，就可以把否定沿着表达式树向下压，随着该过程“翻转”运算符。也就是AND会变成OR，反之亦然。最后，否定到达叶子节点的位置，并停留在那里，除非它们遇到否定文字，在这种情况下，就要利用法则12.13消除两次否定。在构造新表达式时，一定要注意加上恰当的括号，因为在交换AND和OR时运算符的优先级改变了。

这些基本规则就叫“德摩根律”，它们是以下两个重言式。

12.20 德摩根律

(a) NOT $(pq)\equiv\overline{p}+\overline{q}$