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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

前束式程序

原则上讲，只要重命名所有局部变量，使它们全都具有不同的变量名，然后将它们的声明移到主程序中，我们也可以把C语言程序表示为前束式程序。不过一般不会这么做，而是会选择在局部声明变量，比方说，这样一来就不必担心为在10个不同函数中用作循环指标的变量i使用各种不同的变量名了。对逻辑表达式来说，通常都有理由将表达式表示为前束式表达式，虽然这一问题超出了本书的范围。

示例 14.19

示例14.17和示例14.18都是这一过程的例子。从给出表达式(∀X )p(X )OR NOT((∀X )p(X ))的示例14.17开始，通过把第二个∀移过NOT，就得到示例14.18中一开始的表达式

(∀X )p(X )OR(∃X )(NOT p(X ))

然后我们为用到的第二个X 重命名，这是一开始就可以完成而且应该完成的。通过把两个量词移过OR运算符，就得到前束式表达式(∀X )(∃Y )(p(X )OR NOT p(Y ))。

请注意，涉及AND、OR和NOT之外的逻辑运算符的表达式也可以变形为前束式表达式。正如我们在第12章中了解到的，每种逻辑运算符都可以用AND、OR和NOT表示出来。例如，E →F 就可以替换为NOT E OR F 。如果把各逻辑运算符都用AND、OR和NOT表示出来，就能够应用刚刚概述过的变形方式找到等价的前束式表达式。

14.7.7　量词的重新排列

最后要介绍的重言式指出了，将全称量词应用于两个变量，排列这两个量词的次序是没关系的。同样，也可以用任一次序排列两个存在量词。严格地讲就是，以下两个表达式是重言式。

(∀X )(∀Y )E≡(∀Y )(∀X)E　　　　　　(14.17)

(∃X )(∃Y )E≡(∃Y )(∃X )E　　　　　　(14.18)

请注意，根据(14.17)，我们能够把任一∀串(∀X1)(∀X2)(…)(∀Xk )排列成选定的任意次序。事实上，(14.17)就是∀的交换律。同样的结论对法则(14.18)（即∃的交换律）也是成立的。

14.7.8　习题

1. 将以下表达式变形为修正表达式，也就是说，任两个量词不会共用同一变量的表达式。

(a) (∃X )((NOT p(X ))AND((∃Y )(p(Y ))OR(∃X )(q(X,Z ))))

(b) (∃X )((∃X )p(X )OR(∃X )q(X )OR r (X ))

2. 通过把各自由变量全称量词化，将以下表达式转换为闭表达式。如果需要的话，可以为变量重命名，使两个量词不会使用相同变量。

(a) p(X,Y )AND(∃Y )q(Y )

(b) (∀X )(p(X,Y )OR(∃X )p(Y,X ))

3. * 法则(14.12)是否暗指p(X,Y )NOT(∀X )q(X )与(∀X )(p(X,Y )AND q(X ))是等价的？对自己的回答作出解释。

4. 把习题1中的表达式变形为前束式表达式。

5. * 说明如何把量词移过→运算符。也就是说，如何把表达式((Q1X )E )→((Q2Y )F )变形为前束式表达式。大家需要对E 和F 中的自由变量进行什么约束？

6. 我们可以利用重言式(14.9)和(14.10)把NOT移进量词和移出量词。利用这些法则以及德摩根律，可以移动所有的NOT，使它们直接应用到原子公式上。为下列表达式应用这种变形

(a) NOT((∀X )(∃Y )p(X,Y ))

(b) NOT((∀X )(p(X )OR(∃Y )q(X,Y )))

7. * 只要(∃X )E 是重言式，E 就是重言式，这样的说法是否正确？

14.8　谓词逻辑中的证明

在14.8和14.9这两节中将讨论谓词逻辑中的证明。不过，我们不会把12.11节中的分解法扩展到谓词逻辑中，虽然这样也是可行的。事实上，分解对很多使用谓词逻辑的系统来说也是极为重要的。这种证明机制将在12.10节中介绍。回顾一下，在命题逻辑的证明中，给定某些表达式E1、E2、…、Ek 作为前提或者说“公理”，并构造一系列表达式（行），使各表达式符合下列条件之一。

1. 为Ei 之一；

2. 根据推理规则，是用之前的0个或更多表达式得到的。

推理规则必须具有以下属性，只要我们因为F1、F2、…、Fn 出现在表达式列中，而可以向表达式列中添加F，就有

(F1 AND F2 AND…AND Fn)→F

是重言式。

谓词逻辑中的证明基本是相同的。当然，作为前提和证明中各行的表达式都是谓词逻辑表达式，而非命题逻辑表达式。此外，一个表达式的自由变量与另一个表达式中同名的自由变量是不能存在关系的，所以会要求前提和证明中各行都是闭公式。

14.8.1　隐式全称量词

然而，一般约定在书写证明中的表达式时，不会显式给出最外层的全称量词。例如，考虑示例14.3中的表达式

(csg(“CS101”,S,G )AND snap(S,“C.Brown”,A,P ))→answer(G )　　　　　　(14.19)

表达式(14.19)可能是证明的某一前提。在示例14.3中，我们凭直觉将其看作谓词answer 的定义。比方说，我们在answer ("A")，也就是C.Brown的CS101课程得了A的证明中可能用到(14.19)。

在示例14.3中，对(14.19)含义的解释是，对所有的S、G、A 和P 的值，如果说学号为S 的学生CS101课程得到了成绩G，也就是说，如果csg("CS101",S,G )为真，而且学号为S 的学生名叫C.Brown，地址为A，电话号码为P，也就是说，如果snap(S,"C.Brown",A,P)为真，那么G 就是一种答案，即answer (G )为真。在示例14.3的那个例子中，我们还没有正式的量词概念。不过，现在看到，真正想要断言的是

(∀S )(∀G )(∀A )(∀P )(((csg(“CS101”,S,G )AND snap(S,“C.Brown”,A,p ))→answer(G ))

因为经常需要在表达式前引入一串全称量词，所以我们会用简化符号(∀*)E 表示一串全称量词(∀X1)(∀X2)…(∀Xk)E，其中X1、X2、…、Xk 是表达式E 的自由变量。例如，(14.19)就可以写成

(∀*)((csg("CS101",S,G )AND snap(S,"C.Brown",A,P ))→answer (G ))

不过，我们将继续把E 中的自由变量称为(∀*)E 中的“自由变量”。这样使用术语“自由”严格来讲是不正确的，但是非常实用。

14.8.2　作为推理规则的变量替换

除了第12章中讨论过的对应命题逻辑的推理规则外，比如肯定前件式假言推理，以及在证明的前一行中进行以相等换相等的替换，对谓词逻辑中的证明来说还有一种特别实用的涉及变量替换的推理规则。如果已经断言作为前提或证明中某一行的表达式E，而且E ' 是通过用变量或常量替换E 中某个自由变量形成的表达式，那么E →E ' 是重言式，而且我们可以向证明中添加E ' 这样一行。务必记住，我们不能替换E 的约束变量，只能替换E 的自由变量。

严格地讲，可以用函数sub 作为表达式变量的替换。对E 中各自由变量X 而言，可以定义sub(X )为某个变量或某个常量。如果没有为sub(X )指定值，就要假设想要的是sub(X )=X。如果E 是任一谓词逻辑表达式，表达式sub(E )就是将E 中所有作为自由变量出现的X 用sub(X )替代后得到的。

证明中出现的表达式

请记住，如果在证明中看到表达式E，它其实是(∀*)E 的简略形式。要注意到E≡(∀*)E 一般不是重言式，因此我们显然是在用一个表达式代表一个与之不同的表达式。

还要记住，当证明中出现E 时，并不是在断言(∀*)E 是重言式，而是在断言(∀*)E 是根据前提得出的。也就是说，如果E1、E2、…、En 是前提，而且正确书写了证明中的行E，则可知

((∀*)E1AND(∀*)E2 AND…AND(∀*)En)→(∀*)E

是重言式。

变量替换法则说明E →sub(E )是重言式。因此，如果E 是证明中的行，就可以在同一证明中加入sub(E )这一行。

示例 14.20

考虑以表达式(14.19)

(csg(“CS101”,S,G )AND snap(S,“C.Brown”,A,P ))→answer (G )

作为E。可以将一种可能的替换sub 定义为

sub(G )="B "
sub(P )=S

也就是说，这里要用常量B替换变量G，并用变量S 替换变量P。而变量S 和A 保持不变。表达式sub(E )就是

(csg(“CS101”,S“B ”)AND snap(S,“C.Brown”,A,S ))→answer (“B ”)　　　　　　(14.20)

通俗地说，表达式(14.20)的意思是，如果学生S 的CS101课程得了B，该学生的姓名是C.Brown，而且该学生的电话号码和学号是唯一的，那么“B”就是答案。

请注意，(14.19)表达了更具一般性的规则，而(14.20)只是它的一个特例。也就是说，只有在成绩为B，而且C.Brown的学号巧合到与他的电话号码相同时，(14.20)才能推理出正确答案，否则(14.20)不说明任何问题。

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