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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

14.7.3　闭表达式

一个有意思的结果是，对重言式来说，可以假设不存在自由变量。我们可以利用之前的变形，一次全称量词化一个自由变量。不含自由变量的表达式就叫作闭（closed）表达式。

示例 14.16

我们知道p(X,Y )OR NOT p(X,Y )是重言式。可以为自由变量X和Y加上全称量词，得到重言式

(∀X )(∀Y )(p(X,Y )OR NOT p(X,Y ))

14.7.4　把量词移过NOT

存在德摩根律的无限版本，让我们可以用∃替代∀，反之亦然，就像“普通的”德摩根律允许我们在移过NOT的时候，在AND和OR之间切换一样。假设有像

NOT((∀X )p(X ))

这样的表达式。如果定义域值的数量是有限的，比方说是v1、…、vn，那么可以把该表达式看作NOT(p(v1)AND p(v2)AND…AND p(vn))。然后，可以应用德摩根律把该表达式重新写为NOT p(v1)OR NOT p(v2)OR…OR NOT p(vn)。在有限定义域的假设之下，这一表达式就等同于(∃X )(NOT p(X ))，也就是说，对某个X 的值，p(X )为假。

事实上，这一变形并不取决于定义域的有限性，它对每种可能的解释来说都是成立的。也就是说，下面的等价对任何表达式E 来说都是重言式。

(NOT((∀X )E ))≡((∃X)(NOT E ))　　　　　　(14.9)

粗略地讲，(14.9)表示，刚好在存在某个X 的值令E 为假时，E 对所有的X 都不为真。

还有一个类似的重言式让我们可以把NOT压入存在量词。

(NOT((∃X )E ))≡((∀X )(NOT E ))　　　　　　(14.10)

粗略地讲就是，刚好当E 对所有X 来说都为假时，不存在X 使E 为真。

示例 14.17

考虑我们根据命题逻辑重言式p OR NOT p，利用替换原则得到的重言式

(∀X )p(X ) OR NOT((∀X )p(X ))　　　　　　(14.11)

可以令(14.9)中的E=p(X )，用(∃X )(NOT p(X ))替换(14.11)中的NOT((∀X )p(X ))，得到重言式

(∀X )p(X )OR(∃X )(NOTp(X ))

也就是说，要么p(X )对所有的X 都为真，要么存在某个X 令p(X )为假。

14.7.5　把量词移过AND和OR

在从左向右应用法则(14.9)和(14.10)时，可以把量词移到否定之外，并在这样做的过程中“反转”量词，也就是用∀代替∃，用∃代替∀。同样，可以把量词移到AND或OR之外，不过一定要小心，不能改变其中出现的任何变量的约束情况。还有，我们在移过AND或OR时不会反转量词。这些法则的表达式为

(E AND(QX )F)≡(QX )(E AND F )　　　　　　(14.12)

(E OR(QX )F )≡(QX )(E OR F )　　　　　　(14.13)

其中E 和F 是任何表达式，而Q 是任一量词。不过，我们要求X 在E 中不是自由变量。

因为AND和OR都是满足交换律的，所以还可以使用(14.12)和(14.13)移动附加到AND或OR左操作数上的量词。例如，由(14.12)以及AND的交换律可得出如下表达式

((QX )E AND F )≡(QX )(E AND F )

这里，我们要求X 在F 中不是作为自由变量出现的。

示例 14.18

我们来为示例14.17中得出的重言式，也就是

(∀X )p(X )OR(∃X )(NOT p(X ))

变形，使得量词都在表达式之外。首先，需要为两个量词之一所使用的变量重命名。根据法则(14.6)，可以用(∃Y )NOT p(Y )替代(∃X )NOT p(X )，得出重言式

(∀X )p(X )OR(∃Y )(NOT p(Y ))　　　　　　(14.14)

现在可以利用(14.13)的变形，也就是利用量词移到OR运算左操作数上的那个重言式，将∀移到OR之外，得到的表达式就是

(∀X )(p(X )OR(∃Y )(NOT p(Y ))　　　　　　(14.15)

表达式(14.15)与(14.14)只是形式不同，含义却没什么不同。(14.15)表述的是，对所有的X的值，以下两条中至少有一条成立：

1. p(X )为真；

2. 存在某个值Y，使p(Y )为假。

要知道(14.15)为何是重言式，可以考虑对应X 的某个值v。如果所考虑的解释使p(v )为真，那么有p(X )OR(∃Y )(NOT p(X ))为真。如果p(v )为假，那么在这一解释中，(2)肯定成立。特别要说的是，当Y=v 时，NOT p(X )为真，因此(∃Y )(NOT p(Y ))为真。

最后，可以应用(14.13)，将∃Y 移到OR运算之外，得到的表达式就是

(∀X )(∃Y )(p(X )OR NOT p(Y ))

该表达式也一定是重言式。粗略地讲，它所表述的是，对每个X 的值，存在某个Y 的值，使得p(X )OR NOT p(Y )为真。要知道原因，设v 是X 可能的取值之一。如果p(v )在给定解释I 之下为真，那么显然有如下表达式为真，不管Y 是什么。

p(X )OR NOT p(Y )

如果p(v )在解释I中为假，就可以为Y 选择v，这样(∃Y )(p(X )OR NOT p(Y ))就为真。

14.7.6　前束式

法则(14.9)、(14.10)、(14.12)和(14.13)带来的结果是，给定任一涉及量词与逻辑运算符AND、OR和NOT的表达式，可以为其找到量词全部在外部（在表达式树的顶部）的等价表达式。也就是说，可以找到形如

(Q1X1)(Q2X2)…(QkXk)E　　　　　　(14.16)

的等价表达式，其中Q1、…、Qk 各自代表量词∀或∃中的某一个，而且子表达式E 是无量词的。如此则称表达式(14.16)是前束式（prenex form）的。

通过以下两步，就可以把表达式变形为前束式表达式。

1. 修正表达式。也就是说，利用法则(14.6)，使各个量词引用不同的变量，出现在一个量词中的变量既不会出现在另一个量词中，也不会作为表达式的自由变量出现。

2. 然后，根据法则(14.9)和(14.10)把各量词移过NOT，根据法则(14.12)移过AND，并根据(14.13)移过OR。

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