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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

示例 14.21

表达式

p(X,Y )OR(∃Y )q(X,Z )　　　　　　(14.21)

中含有自由变量X 和Y，以及约束变量Z。回想一下，从技术上讲，(14.21)其实代表闭表达式(∀*)(p(X,Y ))OR(∃Z )q(X,Z )，而这里的(∀*)代表对自由变量X 和Y 的量化，也就是有

(∀X )(∀Y )(p(X,Y ))OR(∃Z )q(X,Z )

在(14.21)中，可以替换sub(X )＝a和sub(Y )＝b，得到表达式p(a,b )OR(∃Z )q(a,Z )。不难看出，这一不含自由变量（因为我们用常量替换了其中各自由变量）的表达式是(14.21)的一个特例，它陈述了要么p(a,b )为真，要么存在某个Z 的值，使得p(a,Z )为真。正式地讲，

((∀X )(∀Y)(p(X,Y )OR(∃Z)q(X,Z )))→(p(a,b )OR(∃Z )q(a,Z ))

是重言式。

有人可能想知道在用a 和b 替换X 和Y 时(14.21)中隐含的量词会发生什么。答案是，得到的表达式p(a,b )OR(∃Z )q(a,z )中不存在自由变量，隐含的表达式(∀*)(p(a,b )OR(∃Z )q(a,z ))没有全称量词前缀，也就是说

p(a,b )OR(∃Z )q(a,Z )

在这种情况中只代表自身。我们不会把(∀*)替换为(∀a )(∀b )，因为常量不可能被量词化，这样做是行不通的。

替换的特例

示例14.20是一般情况，其中只要我们对表达式E 应用替换sub，得到的就是E 的特例。如果sub 用常量c 替换变量X，那么表达式sub(E )就只适用于X=c 的情况，而不适用于其他情况。如果sub 让两个变量变得相同，那么sub(E )就只适用于两个变量具有相同值的特例。然而，变量的替换往往正是我们进行证明时所需的，因为它们让我们可以在特例中应用一般规则，而且让我们可以将规则组合起来构成其他规则。我们将在14.9节中研究这种形式的证明。

14.8.3　习题

根据前提，利用12.10节中讨论过的推理规则以及刚刚讨论过的变量替换规则，证明以下结论。请注意，大家可以把任何命题或谓词演算的重言式用作证明的某一行。不过，请尽量只使用12.8节、12.9节和14.7节中介绍的重言式。

(a) 根据前提(∀X )p(X )，证明结论(∀X )p(X )OR q(Y )。

(b) 根据前提(∃X )p(X,Y )，证明结论NOT((∀X )(NOT p(X,a )))。

(c) 根据前提p(X )和p(X )→q(X )，证明结论q(X )。

14.9　根据规则和事实的证明

谓词逻辑中形式最简单的证明可能涉及以下两类前提。

1. 事实（fact），它们是基本原子公式。

2. 规则（rule），它们是“如果-那么”形式的表达式。我们在示例14.20中讨论过的有关C.Brown在课程CS101所取得成绩的查询(14.19)就是一个例子

(csg(“CS101”,S,G )AND snap(S,“C.Brown”,A,P ))→answer(G )

规则由蕴涵符号左侧的一个或更多原子公式的AND以及蕴涵符号右侧的一个原子公式组成。假设出现在右部的任何变量也会出现在左部中的某处。

规则的左边（前提）叫作左部（body），而右边叫作右部（head）。左部中的任一原子公式叫作子目标（subgoal）。例如，在上面再次表示出的规则(14.19)中，子目标是csg("CS101",S,G )和snap(S,"C.Brown",A,P )。右部是answer(G )。

规则的一般使用思路是，规则是可以应用于事实的一般原则。我们会试着通过替换规则中的变量，将规则左部的子目标与给定或已经证明的事实匹配起来。如果能这样做，这种替换会使右部成为基本原子公式，因为已经假设右部的各变量都会出现在左部中。我们可以把这一新的基本原子公式添加到自己可支配的事实集中，以作进一步证明之用。

示例 14.22

根据规则和事实的证明有一种简单的应用，就是用于回应第8章讨论的关系模型中的查询。关系对应的是谓词符号，而关系中的元组则对应着基本原子公式，这些基本原子公式具有谓词符号以及依次等同于元组组分的参数。例如，由图8-1中的“课程-学号-成绩”关系，可以得到如下事实

csg(“CS101”,12345,“A”)　　csg(“CS101”, 67890,“B”)
csg(“EE200”,12345,“C”)　　csg(“EE200”, 22222,“B+”)
csg(“CS101”,33333,“A-”)　csg(“PH100”, 67890,“C+”)

同样，由图8-2a中的“学号-姓名-地址-电话”关系，可以得到以下事实

snap(12345,“C.Brown”,“12Apple St.”,555-1234)
snap(67890,“L.Van Pelt”,“34Pear Ave.”,555-5678)
snap(22222,“P.Patty”,“56Grape Blvd.”,555-9999)

对这些事实，可以添加规则(14.19)

(csg(“CS101”,S,G )AND snap(S,“C.Brown”,A,P ))→answer(G )

从而完成前提列表。

假设想要证明answer("A")为真，也就是说，C.Brown的CS101课程得了A。在证明开头部分要列出所有的事实和规则，虽然在这里我们只需要规则、第一条csg 事实和第一条snap 事实即可。证明的前3行就是

(1) (csg(“CS101”,S,G )ANDsnap(S,“C.Brown”,A,P ))→answer(G )

(2) csg(“CS101”,12345,“A”)

(3) snap(12345,“C.Brown”,“12Apple St.”,555-1234)

下一步是利用推理规则（如果E1和E2是证明中某两行，则可以把E1 AND E2写为证明中的一行）把第二行和第三行结合起来，因此就有了这样一行

(4) csg(“CS101”,12345,“A”)AND

　snap(12345,“C.Brown”,“12Apple St.”,555-1234)

然后，利用自由变量的替换法则特化我们的规则——第(1)行，使它适用于第(4)行中的常量。也就是说，要在第(1)行中进行以下替换

sub(S )=“CS101”
sub(G )=“A”
sub(A )=“12Apple St.”
sub(P )=555-1234

得到如下一行

(5) csg(“CS101”,12345,“A”)AND snap(12345,“C.Brown”,“12Apple St.”,555-1234)→answer (“A”)

最后，对(4)和(5)应用肯定前件式假言推理就得到该证明的第六行也是最后一行

(6) answer (“A”)。

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