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发表日期： 2021-04-21 10:29:43 浏览次数：126

固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1]

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2] 2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3] 2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4] 2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5] 2020中国夏季休闲百佳县市。 [6] 2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7] 2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

14.6.1　替换原则

命题逻辑重言式是谓词逻辑重言式的丰富来源。我们在12.7节中介绍过的替换原则表明，可以取任意命题逻辑重言式，对其中的命题变量进行任何替换，得到的结果仍然是重言式。如果允许用谓词逻辑表达式替换命题变量，那么该原则仍然成立。例如，示例14.13中提到过的重言式q(X )OR NOT q(X )，就是用表达式q(X )替换了重言式p OR NOT p 中的命题变量p。

用谓词逻辑表达式替换命题变量时替换原则成立的原因，与用命题表达式替换命题变量时该原则成立的原因基本相同。在用q(X )这样的表达式替代表达式中出现的某一命题变量p 时，我们知道，对任何解释来说，所替换的表达式不管出现在何处都有着相同的值。因为原有的（我们要对其进行替换的）命题逻辑表达式是重言式，所以在将其中某个命题变量全部替换为0，或者全部替换为1时，该表达式总是为真。

例如，在表达式q(X ) OR NOT q(X )中，不管q 的解释是什么或X 的值是什么，q(X )要么为真，要么为假。因此，这个表达式要么变成1 OR NOT 1，要么变成0 OR NOT 0，而这两个式子的值都是1。

14.6.2　表达式的等价

和命题逻辑中一样，如果两个谓词逻辑表达式E 和F 满足E ≡F 是重言式，就可以定义它们是等价的。在讲到谓词逻辑表达式等价时，12.7节中介绍过的“以相等换相等原则”继续成立。也就是说，如果E1等价于E2，那么可以用E2代替任一表达式F1中的E1，得到的表达式F2将是等价的，也就是说F1≡F2。

示例 14.14

AND运算的交换律是(p AND q )≡(q AND p )。现在，如果有(p(X )AND q(Y,Z ))OR q(X,Y )这样的表达式，那么可以用q(Y,Z ) AND p(X )替换p(X ) AND q(Y,Z )，产生另一个表达式

(q(Y,Z ) AND p(X ))OR q(Y,Z )

并知道

((p(X )AND q(Y,Z ))OR q(X,Y )≡((q(Y,Z )AND p(X ))OR q(X,Y ))

还有一些更微妙的等价谓词逻辑表达式。通常，我们会认为等价表达式有着相同的自由变量和谓词，不过有些情况下自由变量和（或）谓词可以是不同的。例如，表达式

(p(X )OR NOT p(X ))≡(q(Y )OR NOT q(Y ))

就是重言式，因为≡两边的表达式如我们在示例14.13中论证过的都是重言式。因此，在表达式p(X )OR NOT p(X )OR q(X )中可以用q(Y )OR NOT q(Y )替换p(X )OR NOT p(X )，从而得到

(p(X )OR NOT p(X )OR q(X ))≡(q(Y)OR NOT q(Y )OR q(X ))

因为≡的左边是重言式，所以还可以得出

q(Y )OR NOT q(Y )OR q(X )

是重言式的结论。

14.6.3　习题

解释以下各表达式为何是重言式。也就是说，我们为命题逻辑重言式替换了什么样的谓词逻辑表达式？

(a) (p(X )OR q(Y ))≡(q(Y )OR p(X ))

(b) (p(X,Y )AND p(X,Y ))≡p(X,Y )

14.7　涉及量词的重言式

涉及量词的谓词逻辑重言式在命题逻辑中没有直接的参照物。本节要探究这些重言式，并展示如何利用它们处理表达式。而主要成果就是可以将任何表达式转换成量词全在开头位置的等价表达式。

14.7.1　变量的重命名

在C语言中，可以改变局部变量的名称，只要对所有用到该局部变量的地方进行统一修改即可。类似地，也可以改变量词中用到的变量，只要对所有出现受到该量词约束的这一变量的地方进行修改。还有，就像在C语言中那样，一定要谨慎选择新的变量名，因为如果选择的名称已经在所考虑函数之外定义，那么就可能改变程序的含义，就会造成严重的错误。

记住这种重命名，我们可以考虑以下类型的等价，以及在何条件下它是重言式。

(QX )E≡(QY )E'　　　　　　(14.6)

其中E' 是把E 中所有受到这里明确给出的量词(QX )约束的X 替换为Y 后得到的。我们说(14.6)是重言式，只要E 中没有出现自由变量Y。要知道原因，可以考虑任一对应(QX )E 的解释I。或者等价地，对应(QY)E'，因为两个量词化表达式的自由变量和谓词是相同的。如果通过为X 给定值v 扩展过的I 使得E 为真，那么I 和对应Y 的值v 也能让E' 为真。相反，如果通过为X 给定值v 扩展的I 使E 为假，那么扩展的 I 和对应Y 的v 也使E' 为假。

如果量词Q 是∃，那么假设存在对应X 的值v 使得E 为真，就存在某个对应Y 的值v，使得E' 为真，相反，假设存在X 的值v 使得E 为假，就存在对应Y 的值v 使得E' 为假。如果Q 是∀，那么当且仅当所有的Y 值使E' 为真时，所有的X 值使E 为假。因此，对任一量词而言，在给定的任一解释I之下，当且仅当(QY )E' 在相同解释下为真时，(QX )E 才为真，这就证明了如下表达式是重言式。

(QX )E≡(QY )E'

示例 14.15

考虑刚好是重言式的表达式

((∃X )p(X,Y ))OR NOT((∃X )p(X,Y ))　　　　　　(14.7)

我们要展示如何为这两个X 中的一个重命名，以形成两个量词中使用不同变量的另一个重言式。

如果设表达式(14.6)中的E 是p(X,Y )，并且选择变量Z 扮演(14.6)中Y 的角色，就有重言式((∃X )p(X,Y ))≡((∃Z )p(Z,Y ))。也就是说，如果要构造表达式E'，就要用Z 替换E=p(X,Y )中的X，从而得到p(Z,Y )。因此，可以“以相等换相等”，把(14.7)中的第一个(∃X )p(X,Y )替换为(∃Z )p(Z,Y )，以得出表达式

((∃Z )p(Z,Y ))OR NOT((∃X )p(X,Y ))

该表达式等价于(14.7)，因此也是重言式。

请注意，也可以用Z 替换(14.7)第二半中的X，是否这样做都是无关紧要的，因为这两个量词定义了没有关系的不同变量，只不过在(14.7)中它们都被命名为X。不过，我们应该明白，任何一个∃X 都不能用∃Y 替代，因为在出现的两个子表达式p(X,Y )中都是自由变量。

也就是说，((∃X )p(X,Y ))≡c 不是重言式(14.6)的实例，因为Y 是p(X,Y )中的自由变量。要知道这为什么不是重言式，可以设把p 解释为针对整数的<。那么对自由变量Y 的任何值，比方说Y=10，表达式(∃X )p(X,Y )都为真，因为我们可以设X=9。不过该等价的右边——(∃Y )p(X,Y )——为假，因为没有哪个整数严格小于自身。

同样，也不能用(∃Y )p(X,Y )替换(14.7)中(∃X )p(X,Y )的第一个实例。因为得到的表达式

((∃Y )p(Y,Y ))OR NOT((∃X )p(X,Y ))　　　　　　(14.8)

也不可能是重言式。这里还是设p 的解释为针对整数的<，并设自由变量Y 的值是10。请注意，在(14.8)中，出现在p(X,Y )中的两个Y 都是受到量词(∃Y )约束的，只有出现在p(X,Y )中的最后一个Y 是自由的。那么(∃Y )p(Y,Y )对这一解释而言为假，因为没有Y 的值比它自身小。另一方面，当Y=10（或其他任何整数）时，(∃X )p(X,Y )为真，所以NOT((∃X )p(X,Y ))为假。这样一来，表达式(14.8)对这一解释而言为假。

让量词化的变量唯一
(14.6)式有个有意思的结果，就是我们总是可以把任何谓词逻辑表达式E 转换成等价表达式，使其没有两个量词使用同一变量，而且没有量词使用在E 中也作为自由变量的变量。这样的表达式称为修正表达式（rectified expression）。
在证明过程中，我们可能从重言式E ≡E 开始，然后利用(14.6)，以E 中未使用过的新变量，依次为右边的E 中各量词化的变量重命名。得到的结果是表达式E ≡E'，其中E' 中所有的量词(QX )都涉及不同的X，而这些X 也不是E 或E' 中的自由变量。根据命题逻辑中等价的传递性，E ≡E' 是重言式，也就是说E 和E' 是等价的表达式。

14.7.2　自由变量的全称量词化

只有在其自由变量全称量词化的相同表达式为重言式时，带有自由变量的表达式才可能是重言式。严格来讲，对所有重言式T 和变量X 而言，(∀X )T 也是重言式。技术上讲，出现在T 中的X 是否自由都是没关系的。

要知道(∀X )T 为什么是重言式，设Y1、…、Yk 是T 的自由变量，X 可能是其中一员，也可能不是。首先，假设X=Y1。我们需要证明，对所有的解释I，(∀X )T 为真。等价地讲，也就是需要证明，对I 的定义域中的每个值v，通过为X 给定值v 而由I 形成的解释Jv 使T 为真。但T 是重言式，所以每种解释都会使其为真。