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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

能否计算表达式的值？

大家可能会怀疑在E 是(∃X )E1或(∀X )E1的情况下，我们对表达式E 值为1的定义。如果定义域D 是无限的，那么我们已经提出的在各解释Jv 之下为E1求值的测试就不需要对应其执行的算法。从本质上讲，要求我们为存在量词执行以下函数

for (each v in D)
    if (E1 is true under interpretation Jv)
        return TRUE;return FALSE;复制代码

并为全称量词执行如下函数

for (each v in D)
    if (E1 is false under interpretation Jv)
        return FALSE;return TRUE;复制代码

尽管这些程序的目的很明确，但它们都不是算法，因为若定义域D 是无限的，则要进行无数次循环。不过，虽然可能没法分辨E 是真还是假，但我们还是给出了E 何时为真的正确定义，也就是说，我们为量词∀和∃赋予了预期的含义。在很多实际且实用的情形中，我们将能够分清E 是真还是假。在另一些情况中，我们会看到E 是真还是假都是没关系的，例如涉及将表达式变形为等价形式的情况。可以在不知道是否存在令E1这样的子表达式为真的值v 的情况下，根据两个表达式的值的定义来推理它们是等价的。

如果考虑这种情况，就会看到，要使p(X,Z )AND p(Z,Y )为真，就需要v 的值满足3< v（从而让p(X,Z )为真），并满足v< 7（从而使p(Z,Y )为真）。例如，v=4就能使p(X,Z )AND p(Z,Y )为真，并因此证明了E2，或者说证明了(∃Z )(p(X,Z )AND p(Z,Y ))对给定的解释而言为真。

现在可知E1和E2都为真。因为当E1和E2都为真时E1→E2为真，所以可以得出结论，在谓词p 具有解释I2，而且X=3，Y=3的情况下，表达式(14.5)的值是1。

14.5.2　习题

1. 分别为以下各表达式给出一种使其为真的解释以及一种使其为假的解释。

(a) (∀X )(∃Y )(loves(X,Y ))

(b) p(X )→ NOT p(X )

(c) (∃X )p(X )→(∀X )p(X )

(d) (p(X,Y )AND p(Y,Z ))→p(X,Z )

2. 解释一下，为什么每种解释都能使表达式p(X )→p(X )为真。

14.6　重言式

回想一下，在命题逻辑中，如果对每种真值赋值而言，表达式的值都是1，就说该表达式是重言式。同样的概念在谓词逻辑中也是成立的。如果对E 的每种解释，E 的值都是1，则说表达式E 是重言式。

示例 14.13

就像在命题逻辑中那样，“随机的”谓词逻辑表达式很少是重言式。例如，我们在示例14.10中研究过的表达式(14.5)，或者说

p(X,Y )→(∃Z )(p(X,Z )AND p(Z,Y ))`

在某些针对谓词p 的解释之下总为真，但是存在像示例14.10中的I2这样的解释：p 是针对整数的<，让该表达式不总是为真，比如，对X=1和Y=2，该表达式为假。因此，该表达式不是重言式。

表达式

q(X ) OR NOT q(X )

就是个重言式。这里，不管为谓词q 使用什么解释，或者为自由变量X 赋什么值，都是没关系的。如果所选择的解释使得q(X )为真，那么该表达式为真。

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