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固安县，隶属河北省廊坊市。地处华北平原北部，京津保三角腹地，东经116°17'，北纬39°19'。东与永清县相连，西与保定的涿州市、高碑店市相邻，南与霸州市、雄安新区接壤，北隔永定河，与北京市大兴区相望。全县幅员面积696平方千米，下辖9个乡镇、1个省级园区，419个行政村，耕地65万亩，人口52万。 [1] 

固安地理位置优越。古有“天子脚下”之称，今有“京南明珠”美誉。距北京天安门50公里，距北京大兴国际机场8公里。

固安是京津冀实施“一线两厢”战略的“一线”前沿地带，也是廊坊城市建设“大三点”组团的重要支点。先后被国家有关部门授予“中国温泉之乡”、“中国花木之乡”、“中国钓具之乡”、“中国民间文化艺术之乡”、“中国矿泉水之乡”等称号。2014年，中国城市竞争力研究会18日公布了“2014中国县域成长竞争力排行榜”，廊坊市固安县跻身于50强，位居第42位，是河北唯一入围50强的县（市）。2015年，全国县域经济最具创新力十强排名，固安为河北唯一上榜的城市，位居第一。2018年11月，被科技部确定为首批创新型县（市）。 [2]  2018年12月，入选全国县域经济投资潜力100强。 [3]  2019年10月8日，入选2019年度全国投资潜力百强县市。 [4]  2019年度全国绿色发展百强县市，排名第82名。 [5]  2020中国夏季休闲百佳县市。 [6]  2020年5月，入选县城新型城镇化建设示范名单。 [7]  2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

14.5.1　表达式的含义

回想一下，命题逻辑中表达式的含义就是从真值赋值到真值0和1的函数，如图14-5b所示。也就是说，真值赋值陈述了与表达式原子操作数的值有关的所有信息，然后为该表达式求值得到0或1。同样，在谓词逻辑中，表达式的含义是接受解释（我们需要利用该解释为原子操作数求值），并返回0或1的函数。表达式含义的这一概念如图14.6c所示。

示例 14.11

考虑示例14.10中的表达式(14.5)。(14.5)中的自由变量是X 和Y。如果给定的是示例14.10中对p 的解释I1（p 是针对实数的<），而且给定了值X＝3.14和Y＝3.5，那么(14.5)的值就是1。其实，正如我们在示例14.10中讨论过的，有着对p 的解释I1，任何X 和Y 的值都使该表达式的值是1。同样的结论也适用于对p 的解释I3，从定义域{a，b，c }中选取的任何X 和Y 的值都会让(14.5)的值为1。

另一方面，如果给定了解释I2（p 是针对整数的<），以及值X=3和Y=4，那么就像我们在示例14.10中讨论过的，(14.5)的值是0。如果有解释I2，而且自由变量的值分别是X=3和Y=5，那么(14.5)的值是1。

要完成对表达式“含义”的定义，必须正式地定义如何把原子操作数的指针转化成整个表达式的真值。之前我们已经利用直觉，根据的是对命题逻辑的逻辑连接符作用方式的理解，以及考虑量词的直觉。给定某解释I 以及定义域D，表达式的值的正式定义就是对给定的表达式E 的表达式树进行的结构归纳。

依据。如果表达式树是单个叶子节点，那么E 是原子公式p(X1,…,Xk) 。这些Xi全 都要么是常量、要么是表达式E 的自由变量。解释I 为各变量给定了值，这样一来就拥有了p 所有参数的值。同样，I 表明了在以这些值作为参数的情况下p 是真还是假。而该真值就是表达式E的值。

归纳。现在，必须假设给定的表达式E 对应的表达式树根节点位置是运算符。这存在若干种情况，具体取决于E 的根节点位置是什么运算符。

首先，考虑一下E 形如E1 AND E2的情况，也就是说，根节点处的运算符是AND。归纳假设可以应用于子表达式E1和E2。因此可以在解释I 之下为E1求值。5同样，可以在解释I 之下为E2求值。如果求出的值都是1，那么E 的值就是1，否则E 的值是0。

5严格地讲，要从I 中除去那些只出现在E 中但没有出现在E1中的对应谓词p 的解释。还有，必须放弃那些出现在E中但没有出现在E1中的自由变量的值。不过，如果解释中包含进没有用到的额外信息，是不存在任何概念困难的。

像OR或NOT这样的其他逻辑运算符的归纳也是如法炮制。对OR而言，我们会为两个子表达式求值，并且只要有任何一个子表达式得出值1，就为表达式得出值1。而对NOT来说，我们会为那一个子表达式求值，并得出该表达式的值的否定，而对其他命题逻辑运算符来讲，处理方法也都是一样的。

现在假设E 形如(∃X )E1。根节点运算符就是该存在量词，而且我们可以将归纳假设应用于子表达式E1。E1中的谓词都出现在E 中，而E1中的自由变量都是E 的自由变量，可能还要加上X。6因此，我们可以为定义域D 中的各个值v 构建对应E1的解释I，以及我们称之为解释Jv 的对变量X 的赋值v。对各个值v，我们会问，在解释Jv 之下E1是否为真。如果至少存在一个这样的值v，那么我们说E=(∃X )E1为真，否则就说E 为假。

6技术上讲，即使对E1应用了涉及X 的量词，E1还是可能不含任何作为自由变量的X。在这种情况下，量词可能也不存在，但我们没有阻止它出现。

最后，假设E 形如(∀X )E1。归纳假设还是适用于E1。现在要问，对定义域D 中的每个值v，在解释Jv 之下E1是否为真。如果是，就说E 的值是1，如果不是，E 的值就是0。

示例 14.12

这里在给定对p 的解释I2，以及对应自由变量X 和Y 的值分别是3和7的情况下，要为表达式(14.5)求值。对应(14.5)的表达式树如图14-8所示。我们看到，根节点处的运算符是→。之前并未明确介绍过这种情况，不过原则应该是很清楚的。整个表达式可以写成E1→E2，其中E1是p(X,Y )，而E2是(∃Z )(p(X,Z )AND p(Z,Y ))。因为→的含义，所以除了E1为真而且E2为假的情况，整个表达式(14.5)都为真。

图 14-8　对应(14.5)的表达式树

E1，也就是p(X,Y )，是很容易求值的。因为X=3，Y=7，而且当且仅当X< Y 时p(X,Y )为真，所以可以得出E1为真。为E2求值则更为困难。我们必须为Z 考虑所有可能的值v，以了解是否至少存在一个值使p(X,Z ) AND p(Z,Y )为真。例如，如果尝试Z=0，那么p(Z,Y )为真，但p(X,Z )为假，因为X=3是不小于Z 的。

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