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香河县，隶属河北省廊坊市，地处华北平原北部，四面与京津接壤，素有“京畿明珠”之美誉。总面积458平方公里，下辖9镇、3个街道办事处，3个省级工业园区，1个省级农业高新技术园区，共300个行政村，总人口35万人，综合经济实力位居廊坊市前三甲、河北省第十二强，是首都经济圈乃至环渤海经济圈中最具活力和发展潜力的黄金板块。 [1]  南宋乾道八年（1172年），划出香河县之东境置宝坻县。

2018年10月，香河县入选2018年度全国“综合实力百强县” [2]  、投资潜力百强县市 [3]  、绿色发展百强县市 [4]  、科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市 [5]  。 [6]  2018年度《中国国家旅游》最佳休闲旅游目的地。2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市 [7]  。入选2019年度全国投资潜力百强县市、2019年度全国新型城镇化质量百强县市。 [8-9]  2019年11月，被命名为“四好农村路”全国示范县。 [10]  2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。 [11]  2020年12月，入选河北省数字乡村试点地区名单。

14.4.1　逻辑表达式的递归定义

作为回顾，我们要给出谓词逻辑中这类逻辑表达式的递归定义。

依据。每个原子公式都是表达式。

归纳。如果E 和F 是逻辑表达式，那么以下表达式也是逻辑表达式。

1. NOT E、E AND F、E OR F、E →F 和 E≡F。粗略地讲，我们也允许使用NAND这样的其他命题逻辑运算符。

2. 对任何变量X，(∃X )E 和 (∀X )E。原则上讲，X 甚至不需要在E 中出现，虽然实践中这样的表达式很难“说得通”。

14.4.2　运算符的优先级

一般而言，需要在所有用到表达式E 和F 的地方为其加上括号。不过，就像我们已经看到的其他代数那样，通常可以出于运算符优先级的原因删掉一些括号。这里要继续使用12.4节定义的运算符优先级，NOT（最高）、AND、OR、→和≡（最低）。不过，量词在所有运算符中有着最高的优先级。

示例 14.5

(∃X )p(X )OR q(X )会被分组为

((∃X )p(X ))OR q(X )

同样，表达式(14.3)中外层那两对括号是多余的，所以可以将其写为

(∀X )NOT w(X )OR(∃X )w(Y )

还可以消除(14.2)中的两对括号，并将其写为

(∀C )((∃S)csg(C,S,"A")→(∃T )csg(C,T,"B"))

(∀C )后整个表达式两侧的括号是必要的，这样才能把“对所有的C ”应用到整个表达式上。

量词的次序

混淆量词的次序是个常见的逻辑错误，例如，有人可能误认为(∀X )(∃Y )与(∃X )(∀Y )含义相同，但它们是不同的。例如，如果粗略地把loves(X,Y )解释为“X 爱Y”，那么(∀X)(∃Y)loves(X,Y)就表示“每个人都爱某个人”，也就是说，对每个个体X，至少存在一个个体Y 是X 所爱的。另一方面(∃Y )(∀X )loves(X,Y )则表示，存在某个被每个人所爱的个体Y ——这是个非常幸运的Y，如果存在这样的人的话。

请注意，量词(∀X )和(∃X )所带的括号并不是用于分组的，它们应该被看作表示量词的符号的一部分。还有，请记住量词和NOT都是一元的前缀运算符，而且唯一明智的分组方式就是从右边起为它们分组。

示例 14.6

因此表达式(∀X )NOT(∃Y)p(X,Y )被分组为

(∀X )(NOT((∃Y )p(X,Y )))

并表示“对所有的X，都不存在Y 使得p(X,Y )为真”。换句话说就是，不存在使得p(X,Y )为真的X 和Y 的取值对。

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