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香河县，隶属河北省廊坊市，地处华北平原北部，四面与京津接壤，素有“京畿明珠”之美誉。总面积458平方公里，下辖9镇、3个街道办事处，3个省级工业园区，1个省级农业高新技术园区，共300个行政村，总人口35万人，综合经济实力位居廊坊市前三甲、河北省第十二强，是首都经济圈乃至环渤海经济圈中最具活力和发展潜力的黄金板块。 [1]  南宋乾道八年（1172年），划出香河县之东境置宝坻县。

2018年10月，香河县入选2018年度全国“综合实力百强县” [2]  、投资潜力百强县市 [3]  、绿色发展百强县市 [4]  、科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市 [5]  。 [6]  2018年度《中国国家旅游》最佳休闲旅游目的地。2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市 [7]  。入选2019年度全国投资潜力百强县市、2019年度全国新型城镇化质量百强县市。 [8-9]  2019年11月，被命名为“四好农村路”全国示范县。 [10]  2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。 [11]  2020年12月，入选河北省数字乡村试点地区名单。

14.4.3　约束变量和自由变量

量词与表达式中的变量相互作用的方式是很微妙的。要解决这一问题，首先要想到C语言中局部变量和全局变量的概念。假设如图14-1所示，X 被定义为C语言程序中的外部变量。假设X 不是在main函数中声明的，那么main函数中对X 的引用就是对外部变量的引用。另一方面，函数f中也声明了局部（自动控制）变量X，而函数f中对X 的所有引用都是对该局部变量的引用。

C语言程序中对X 的声明与量词(∀X )或(∃X )存在着很近的相似性。如果有表达式(∀X )E 或(∃X)E，那么该量词就相当于为表达式E 声明了局部的X，就像E 是函数，而X 被声明为该函数的局部变量那样。

在接下来的内容中，有必要用符号Q 来表示任一量词。具体来说就是，用(QX )代表“应用于X 的某个量词”，也就是(∀X )或(∃X )。

int X;
    …main(){
    …
    ++X;
    …}void f(){
    int X;
    …}复制代码

图 14-1　局部变量和全局变量

如果E 具有某个形如(QX )F 的子表达式，那么该子表达式就像是E 中声明的程序块，而E 在自身对X 进行了声明。在F 中对X 的引用就引用了由这一(QX )“声明的”X，而E 中F 之外的部分所使用的X 则引用了X 的其他声明——要么是与E 相关联的量词，要么是与包含在E 中但限制了所考虑的X 的某个表达式相关联的量词。

图 14-2　对应(∀X )u(X )OR(∀X )w(X )表达式树

示例 14.7

考虑表达式

(∀X )u(X )OR(∀X )w(X )　　　　　　(14.4)

粗略地讲，该表达式的含义是“要么每个人都带着伞，要么每个人都被淋湿”。我们可能不相信这一命题的真实性，但这里要拿它来当例子考虑。表达式(14.4)的表达式树如图14-2所示。请注意，第一个量词(∀X )只在它的子孙u 中使用X，而第二个量词(∀X )只在它的子孙w 中使用X。要区分所使用的X 是在哪个量词中“声明”的，就只能从该X 向上追溯，直到遇到量词(QX )为止。因此这里所使用的两个X 引用了不同的“声明”，而且它们之间没有任何关系。

要注意可以为(14.4)中X 的两个“声明”使用不同变量，将其写作(∀X )u(X )OR(∀Y )w(Y )。一般来说，总是可以为谓词逻辑表达式的变量重命名，从而使同一变量不会出现在两个量词中。这种情况与C语言这样的编程语言是类似的，我们在编程语言中会为程序中的变量重命名，这样相同的变量名就不会使用在两个声明中。例如，在图14-1中，可以把函数f中变量名X的所有实例都变为任何新变量名Y。

示例 14.8

再举个例子，考虑表达式

(∀X )(u(X )OR(∃X )w(X ))

粗略地讲，其含义是“对各个体，要么该个体带着伞，要么存在某一（可能是另一）个体被淋湿”。该表达式的表达式树如图14-3所示。请注意，w 中使用的X 指的是X 限定了私密性的“声明”，也就是存在量词。换句话说，如果从w(X )沿着树向上行进，那么在遇到全称量词之前会遇到存在量词。不过，u 中所使用的X 就不在该存在量词的“范围”内。如果从w(X )上行，首先会遇到全称量词。可以把该表达式写为

(∀X )(u(X )OR(∃Y )w(Y ))

这样就没有哪个变量会出现在两个量词中了。

图 14-3　对应(∀X )(u(X )OR(∃X )w(X ))的表达式树

如果在逻辑表达式E 的表达式树中，涉及某个变量X 的量词是该X 的最低祖先，就可以说该变量X 是受量词Q(X)约束的。如果某个X 不受任何量词约束，那么该X 就是自由变量。因此量词就像是以该量词为根节点的子树T 局部的“声明”。这些量词会应用到T 中除了以具有同样变量的另一个量词为根节点的子树之外的各个节点。而自由变量就像是全局变量之于某一函数那样，它们的“声明”是在所考虑的表达式之外进行的。

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