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香河县，隶属河北省廊坊市，地处华北平原北部，四面与京津接壤，素有“京畿明珠”之美誉。总面积458平方公里，下辖9镇、3个街道办事处，3个省级工业园区，1个省级农业高新技术园区，共300个行政村，总人口35万人，综合经济实力位居廊坊市前三甲、河北省第十二强，是首都经济圈乃至环渤海经济圈中最具活力和发展潜力的黄金板块。 [1]  南宋乾道八年（1172年），划出香河县之东境置宝坻县。

2018年10月，香河县入选2018年度全国“综合实力百强县” [2]  、投资潜力百强县市 [3]  、绿色发展百强县市 [4]  、科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市 [5]  。 [6]  2018年度《中国国家旅游》最佳休闲旅游目的地。2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市 [7]  。入选2019年度全国投资潜力百强县市、2019年度全国新型城镇化质量百强县市。 [8-9]  2019年11月，被命名为“四好农村路”全国示范县。 [10]  2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。 [11]  2020年12月，入选河北省数字乡村试点地区名单。

命题变量r 也可以被当作具有0个参数的谓词。也就是说，下不下雨并不像u 和w 那样取决于个体X 。

现在可以把前提用谓词表示成如下形式。

1. r →u(X )。（对任何个体X，如果天在下雨，那么X 带着他或她的伞。）

2. u(X )→NOT w (X )。（不管你是谁，如果你带着伞，就不会被淋湿。）

3. NOT r →NOT w (X )。（如果不下雨，那么没人会被淋湿。）

14.2.1　原子公式

原子公式（atomic formula）是具有0个或更多参数的谓词。例如，u(X )是具有谓词u 和一个参数（这里的参数是变量X）的原子公式。一般而言，参数要么是变量，要么是常量。1尽管原则上讲常量的值可以是任何类型的，但我们通常会假设这些值是整数、实数或字符串。

1谓词逻辑还允许参数是单个变量或常量之外的更复杂的表达式。这对我们在本书中没有讨论到的某些用途来说是很重要的。因此，本章中我们将只会看到变量和常量作为谓词的参数。

变量是那些可以接受任何常量作为其值的符号。我们不应该把“变量”与第12章“命题变量”中的“变量”弄混。事实上，命题变量等价于没有参数的谓词，而且我们会把表示原子公式的p 写成具有谓词名p 和0个参数的形式。

所有参数都是常量的原子公式就叫作基本原子公式（ground atomic formula）。非基本原子公式（nonground atomic formula）可以用常量或变量作为参数，但至少有一个参数一定是变量。请注意，作为没有参数的原子公式，任何命题的“所有参数都是常量”，因此是基本原子公式。

14.2.2　常量和变量的区分

我们要使用以下约定来区分常量和变量。变量名总是以大写字母开头，常量是用以下几种方式表示的：

1. 以小写字母开头的字符串；

2. 12或14.3这样的数字；

3. 带引号的字符串。

因此，如果要把课程CS101表示为常量，就可以将其写为“CS101”。2

2常量在逻辑中通常称为“原子”。不巧的是，“原子公式”也时常被称为“原子”，因此一般会避免使用术语“原子”。

像常量这样的谓词将会用以小写字母开头的字符串表示。我们不可能把谓词与常量弄混，因为常量只可能出现在原子公式的参数中，而谓词是不可能出现在那里的。

示例 14.1

我们可以用谓词名csg 表示8.2节讨论过的“课程-学号-成绩”关系中所含的信息。原子公式csg(C,S,G )可以被视作在说：对变量C、S 和G，学号为S 的学生选修了课程C，并得到了成绩G。换句话说，当我们用常量c 代替C，用s 代替S，并用g 代替G 时，当且仅当学号为s 的学生选修了课程c 并取得成绩g，csg (c,s,h)的值为TRUE。

还可以通过用常量作为参数，把关系中的特定事实（即元组）表示为基本原子公式。例如，图8-1中第一个元组可以表示为csg ("CS101",12345,"A")，断言学号为12345的学生CS101课程的成绩是A。最后，可以在参数中混用常量与变量，因此就可能看到csg ("CS101",S,G )这样的原子公式。如果变量S 和G 的取值(s,g )满足学号为s 的学生选修了课程CS101并取得成绩g，则该原子公式为真，否则就为假。

14.2.3　习题

利用本节中的约定，确定以下内容是常量、变量、基本原子公式还是非基本原子公式。

(a) CS205

(b) cs205

(c) 205

(d) “cs205”

(e) p(X,x )

(f) p(3,4,5)

(g) “p(3,4,5)”

14.3　逻辑表达式

第12章中为命题逻辑使用过的概念（文字、逻辑表达式、子句等）沿用到了谓词逻辑中。在下一节中我们还会引入两种额外的运算符来构成逻辑表达式。不过，逻辑表达式构造背后的基本思路在命题逻辑和谓词逻辑中基本是相同的。

14.3.1　文字

文字要么是原子公式，要么是原子公式的否定。如果在原子公式的参数中没有变量，那么相应的文字就是基本文字（ground literal）。

示例 14.2

p(X,a)是原子公式并且是文字。它不是基本的，因为根据我们的决定，它的参数X 是变量。NOT p(X,a)是文字，但它不是原子公式，也不是基本文字。表达式p(a,b)和NOT p(a,b)都是基本文字，但只有前者是（基本）原子公式。

就像命题逻辑那样，可以用上横线代替NOT运算符。不过，当横线用在很长的表达式上时，就会容易混淆，因此与第12章相比，在本章中会更常见到NOT。

14.3.2　逻辑表达式

我们可以像12.3节中用命题变量构建表达式那样，用原子公式构建表达式。这里将继续使用第12章中讨论过的AND、OR、NOT、→和≡运算符，以及其他的逻辑连接符。而在下一节中，我们会介绍“量词”，也就是可以在谓词逻辑中用来构建表达式，但在命题逻辑中没有类比物的运算符。

就像横线是NOT的简化符号那样，可以继续用并置（没有运算符）来表示AND并用+表示OR。不过，我们并不经常使用这些简化符号，因为它们可能让谓词逻辑中较长的表达式变得难以理解。

下面的例子应该能让大家对逻辑表达式的含义有所领悟。不过，要注意到这里的讨论对其进行了非常大的简化，而我们要到14.5节才会讨论“解释”，以及它们为谓词逻辑中的逻辑表达式赋予的含义。

示例 14.3

假设有谓词csg 和snap，它们分别可以解释为第8章中介绍过的“课程-学号-成绩”与“学号-姓名-地址-电话”这两个关系。并假设我们想要找到名为“C.Brown”的学生CS101课程的成绩。就可以断言以下逻辑表达式

(csg (“CS101”,S,G )AND snap (S,“C.Brown”,A,P ))→answer (G )　　　　　　(14.1)

这里的answer 是另一个谓词，如果G 是某个名为“C.Brown”的学生CS101课程的成绩，它就适用于成绩G 。

在我们“断言”某个表达式时，就说明了不管用什么值替换其变量，该表达式的值都为TRUE。粗略地讲，(14.1)这样的表达式可以按照以下方式解释。如果用常量代替各变量，则各原子公式就成了基本原子公式。通过参考“现实世界”，或是在列出某给定谓词为真的基本原子公式的关系中进行查找，可以确定一个基本原子公式是真还是假。在用0或1代替各个基本原子公式时，可以为表达式本身求值，就像第12章中为命题逻辑表达式求值那样。

在表达式(14.1)的情况中，可以取图8-1和图8-2a中的元组为真。特别要说的是，

csg("CS101",12345,"A")

和

snap(12345,“C.Brown”,“12 Apple St.”,“555-1234”)

为真。然后可以设

S=12345
G=“A”
A=“12 Apple St.”
P=“555-1234”

这让(14.1)的左边成了1 AND 1，它的值当然是1。原则上讲，我们对谓词answer 没有任何了解。不过，我们断言了(14.1)，这意味着不管用什么值替代其中的变量，它的值都是TRUE。因为它的左边根据上述替换得到了TRUE，所以右边不可能为FALSE。因此我们推导出了answer("A")为真。

14.3.3　其他术语

我们还会使用其他与命题逻辑相关联的术语。一般来说，当本章中讲到命题变量时，说的就是所有原子公式，其中包括不含参数的谓词（即命题变量）作为特例。例如，子句是一组由OR运算符连接的文字。同样，如果表达式是子句的AND，那么就说它是合取范式。如果表达式是多个项的OR，而这些项各自是文字的AND，那么这样的表达式就是析取范式。

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