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香河县，隶属河北省廊坊市，地处华北平原北部，四面与京津接壤，素有“京畿明珠”之美誉。总面积458平方公里，下辖9镇、3个街道办事处，3个省级工业园区，1个省级农业高新技术园区，共300个行政村，总人口35万人，综合经济实力位居廊坊市前三甲、河北省第十二强，是首都经济圈乃至环渤海经济圈中最具活力和发展潜力的黄金板块。 [1]  南宋乾道八年（1172年），划出香河县之东境置宝坻县。

2018年10月，香河县入选2018年度全国“综合实力百强县” [2]  、投资潜力百强县市 [3]  、绿色发展百强县市 [4]  、科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市 [5]  。 [6]  2018年度《中国国家旅游》最佳休闲旅游目的地。2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市 [7]  。入选2019年度全国投资潜力百强县市、2019年度全国新型城镇化质量百强县市。 [8-9]  2019年11月，被命名为“四好农村路”全国示范县。 [10]  2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。 [11]  2020年12月，入选河北省数字乡村试点地区名单。

可以按照如下方式证明 j 2d+k=i。请注意，用 j 乘以2d会把 j 的二进制表示向左移动d 个位置。也就是说 j 2d=(x1…xd 0…0)2，其中这串0的长度是d。因此，j 2d+k 的二进制表示就是(x1…xdxd+1…x2d )2。这是因为k 的二进制表示是(xd+1…x2d )2，而且当这个数字被加到最后是d 个0的 j 2d 时，从右起的第d 位显然没有进位输出。现在可知 j 2d+k=i，因为它们有着相同的二进制表示。因此图13-24所示的2d-MUX正确地选出了xi，其中i=(x1…x2d )2。

13.7.2　分治MUX的延迟

可以通过写出适当的递推关系来计算所设计多路复用器电路的延迟。设D(d )是d-MUX的延迟。观察图13-23可知，对d=1，延迟是3。不过，要得到更紧密的边界，就要假设所有的控制输入都要经过MUX外的反相器，而且它们不能算在图13-23所示反相器的那层中。所以在确定了电路其余部分的延迟之后，要在总延迟上加1，从而把所有控制输入的反相产生的延迟计算在内。因此，我们的递推关系是从D(1)=2开始的。

对于归纳部分，我们注意到经过图13-24所示电路的延迟是经过上方那行MUX中任何一个的延迟，加上经过最后一个MUX的延迟。因此，D(2d)就是D(d)的两倍，所以递推关系为

D(1)=2
D(2d )=2D(d )

解是很容易得出的。我们有D(2)=4，D(4)=8，D(8)=16，而一般来说就是D(d )=2d。当然，严格地讲，这一公式只有在d 是2的乘方时才成立，不过同样的思路也可以用于任意数量的控制位d。因为我们必须加上为控制输入反相所造成的延迟1，所以该电路的总延迟就是2d+1。

现在考虑简单多路复用器电路（每个数据输入对应一个AND门，其输出都提供给一个OR门）。正如之前所说的，它的延迟是3，与d 无关，不过一般来说不可能这样构建电路，因为最终那个OR门的扇入是不现实的。如果坚持将扇入限制为2会怎样呢？这样一来，有着2d 路输入的最后那个OR门会被有着d 层的完全二叉树替代。回想一下，这样一棵树将会有2d 个叶子节点，刚好就是正确的数量，而这棵树的延迟是d。

我们还要用由扇入为2的AND门构成的树替代这些AND门，因为一般来说这些AND门具有d+1路输入。回想一下，在使用具有两路输入的门时，每使用一个门就会将输入的数量减少1，所以需要d 个扇入为2的门才能把d+1路输入减少到1路输入。如果将门安排成AND门构成的平衡二叉树，就需要log2d+1层。在加上为控制输入反相的一层之后，就得到总延迟是d+1+(log2d+1)。如图13-25中的表所示，虽然这与分治MUX那2d+1的延迟相比差别不大，但该图还是好意地对其进行了比较。

图 13-25　两种不同多路复用器设计的延迟

13.7.3　门的数量

本节中要比较简单MUX和分治MUX中门的数量。我们会看到，随着d 的增加，分治MUX所含的门明显要更少。

要计算分治MUX中门的数量，可以暂时忽略反相器。我们知道，这d 路控制输入各要被反相一次，所以最后再在得出的数量上加d 就行了。设G(d )是d-MUX中（除反相器之外的）用到的门的数量。那么可以按照如下方式给出它的递推关系。

依据。依据情况是d=1的情况，如图13-23中的电路那样，除了反相器之外有3个门。因此G(1)=3。

归纳。对归纳部分来说，图13-24中的2d-MUX是用2d+1个d-MUX构建的。

因此，递推关系就是

G(1)=3

G(2d )=(2d+1)G(d )

正如我们在3.11节中看到过的，该递推关系的解是

G(d )=3(2d-1)

这一递推关系的前几个值分别是G(2)=9，G(4)=45和G(8)=765。

现在来考虑在只使用扇入为2的门时，简单MUX使用的门的数量。和之前一样，我们会忽略为控制输入反相所需的d 个反相器。最后的OR门要用一棵有2d-1个OR门的树代替。2d个AND门各会被一棵有d 个AND门的树替代。因此，总的门数量就是2d(d+1)-1。该函数要比分治MUX中门的数量多，多的幅度大约是(d+1)/3。图13-26比较了两种MUX中门的数量，每种情况都不包括d 个反相器。

图 13-26　两种不同多路复用器设计（不包括反相器）的门数量

有关分治的更多内容

本节的多路复用器设计所表示的这种分治算法是一种虽很少见但很强大的形式。大多数分治的例子都会把问题一分为二。这些例子包括归并排序、13.6节中设计的快速加法器，以及用来计算大量位的AND或OR的完全二叉树。在多路复用器中，是用d+1个更小的MUX来构建一个2d-MUX。换句话说，具有n=22d 路数据输入的MUX是由个小MUX构建的。

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