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香河县，隶属河北省廊坊市，地处华北平原北部，四面与京津接壤，素有“京畿明珠”之美誉。总面积458平方公里，下辖9镇、3个街道办事处，3个省级工业园区，1个省级农业高新技术园区，共300个行政村，总人口35万人，综合经济实力位居廊坊市前三甲、河北省第十二强，是首都经济圈乃至环渤海经济圈中最具活力和发展潜力的黄金板块。 [1]  南宋乾道八年（1172年），划出香河县之东境置宝坻县。

2018年10月，香河县入选2018年度全国“综合实力百强县” [2]  、投资潜力百强县市 [3]  、绿色发展百强县市 [4]  、科技创新百强县市、全国新型城镇化质量百强县市 [5]  。 [6]  2018年度《中国国家旅游》最佳休闲旅游目的地。2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市 [7]  。入选2019年度全国投资潜力百强县市、2019年度全国新型城镇化质量百强县市。 [8-9]  2019年11月，被命名为“四好农村路”全国示范县。 [10]  2020年10月，入选河北省第一批新型智慧城市建设试点名单。 [11]  2020年12月，入选河北省数字乡村试点地区名单。

13.6.3　分治加法器使用的门的数量

我们还应该验证门的数量是否合理。设G(n)是n 位加法器电路使用的门的数量。依据是G(1)=9，数出图13-16所示电路中门的数量就可以得出这一数字。然后看到图13-17所示电路，也就是归纳情况，在两个n 位加法器的子电路中有2G(n)个门。除了这个量之外，还必须加上FIX电路中门的数量。可能要反转gR 和PR 一次，然后n 个si 和ti 各需要3个门（两个AND和一个OR）来计算，也就是总共要6n 个门。在这个量之上，要加上为gR 和PR 设置的两个反相器，还必须加上计算g 和p 各自需要的两个门。因此FIX电路中门的总数量是6n+6。这样对应G 的递推关系是

G(1)=9
G(2n)=2G(n)+6n+6

这里的函数还是只为2的乘方n 定义。G 的前6个值如图13-19中的表所示。对n=32，我们看到电路需要954个门。对2的乘方n 来说，表示G(n)的解析式是3n log2n+15n-6，大家可以利用3.11节中的技巧来证明该表达式是正确的。

图 13-19　多种n 位加法器所使用的门的数量

事实上，如果所需要的只是32位加法器，完全可以用更少的门来实现电路。这样的话，可知在第32位的右边没有进位输入，因此在电路的最后阶段不需要计算p 以及t1、t2、…、t32的值。同样，右半部分的16位加法器也不需要计算它的进位传送和16个t 的值，而右侧16位加法器右半部分的8位加法器不需要计算它的p 和t，等等。

把分治加法器使用的门的数量与行波进位加法器使用的门的数量相比是很有意思的。我们在图13-10中设计的全加器电路使用了12个门。因此，n 位行波进位加法器使用了12n 个门，而对n=32来说，这个数字就是384。如果记得最右位的进位输入是0，还可以省掉一些门。

可以看到，对这种有意思的情况，也就是对n=32的情况而言，行波进位加法器尽管要慢很多，但使用的门的数量却不到分治加法器的一半。此外，后者的增长率O(n logn)要高于行波进位加法器的增长率O(n)，所以随着n的增加，门数量的差别会越来越大。不过，这个比率只是O(logn)而已，所以门数量的差别并不严重。由于这两种电路所需时间（分别是O(n)和O(logn)）的差别要更为明显，某种分治加法器几乎用在所有的现代计算机中。

13.6.4　习题

1. 按照本节介绍的设计方法，画出把4位（bit）的数字相加的分治电路。

2. 设计类似图13-18的电路，计算图13-17中加法器的其他输出，也就是p、g 和那些si 。

3. ** 设计接受十进制数字输入的电路，其中各位数字是4个给出与该十进制数字等价的二进制数字的输入表示的。而输出的是与之等价的二进制表示数字。大家可以假设数字（digit）的数量是2的乘方，并使用分治法。提示：左半部分的电路（高位数字）需要来自右半部分（低位数字）的哪些信息？

4. * 证明，对2的乘方n 而言，如下递推关系的解是D(n)=3(1+log2n)。

D(1)=3

D(2n)=D(n)+3

5. * 证明，对2的乘方n 而言，如下递推关系的解是G(n)=3n log2n+15n-6。

G(1)=9

G(2n)=2G(n)+6n+6

6. ** 我们注意到，如果所需要的只是32位加法器，就不需要图13-19给出的全部954个门。原因在于，可以假设32位中最右的位置没有进位输入。那么实际上需要多少个门？

13.7　多路复用器的设计

多路复用器（multiplexer）通常简写为MUX，是一种常见的计算机电路，它接受d 路控制输入，比方说是x1、x2、…、xd，以及2d 路数据输入，比方说是y0、y1、…、y2d-1，如图13-20所示。MUX的输出等于特定的数据输入，输入y(x1x2…xd )2。也就是说，把控制输入当作0到2d-1范围内的二进制整数，该整数是要传递给输出的数据输入的下标。

图 13-20　多路复用器电路概要图

示例　13.7

分治加法器中计算si 和ti 的电路就是d=1的多路复用器。例如对应si 的公式是，而它的电路概要图就如图13-21所示。这里，gR所扮演是控制输入x1的角色，则是数据输入y0，而是数据输入y1。

再举个例子，具有两个控制输入x1和x2，以及4个数据输入y0、y1、y2和y3的MUX的输出公式是

图 13-21　1-复用器

这里对应各数据输入的都分别只有一项。而具有数据输入yi 的项也含有两个控制输入，要么是否定的，要么是非否定的。通过把i 写为d 位的二进制整数，我们可以推断出哪些控制输入是否定的。如果二进制的i 第j 个位置是0，那么xj 就是否定的，而如果第j 个位置是1，就不为xj 取反。请注意，这一规则对任意数量d 的控制输入都是有效的。

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