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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

示例 12.17

之所以选择图12-17中的卡诺图，是因为其中的1所具有的模式，而不是出于其函数所具有的显著特征。这幅图展示一个重点。5个质蕴涵项一起涵盖了所示的全部值是1的点，其中包括由4个角构成的蕴涵项（用虚线表示），而该蕴涵项的文字积表达式是，另外4个质蕴涵项分别具有文字积、、 和。

从目前为止的例子来看，我们可能会觉得，要为该图生成逻辑表达式，应该要将全部5个蕴涵项取逻辑OR。不过，片刻思考后你就会觉得，最大的蕴涵项是多余的，因为所有的点都已经被其他4个质蕴涵项涵盖了。此外，它也是唯一一个可以消除的质蕴涵项，因为其他4个质蕴涵项都各自含有一个只由自身涵盖的点。例如，就是唯一一个涵盖了第一行第二列那个点的质蕴涵项。因此下列表达式就是从图12-17所示的卡诺图得到的所需的析取范式。

12.6.7　习题

1. 为变量p、q、r 和s 的以下函数画出卡诺图。

(a) 如果p、q、r 和s 中有一个、两个或三个为TRUE，则该函数为TRUE，如果没有一个为TRUE或全部为TRUE，则该函数不为TRUE。

(b) 如果p、q、r 和s 中至多有两个为TRUE，则该函数为TRUE，如果有三个或四个为TRUE，则该函数不为TRUE。

(c) 如果p、q、r 和s 中有一个、三个或四个为TRUE，则该函数为TRUE，如果没有一个为TRUE或有两个为TRUE，则该函数不为TRUE。

(d) 由逻辑表达式pqr →s 表示的函数。

(e) 如果pqrs 所表示的二进制数字的值小于10，则该函数为TRUE。

2. 为习题1中的各个卡诺图找出除了最小项之外的蕴涵项。它们中有哪些是质蕴涵项？为各函数找出涵盖卡诺图中所有1的质蕴涵项之和。是否要用到所有的质蕴涵项？

3. 证明，布尔函数析取范式中的每个积都是该函数的蕴涵项。

4. *大家还可以根据卡诺图构造合取范式。首先要找到形成蕴涵项的那种矩形，不过这里矩形中的点要全部为0，而不是全部为1。这样的矩形可以称为“反蕴涵项”。我们可以为各反蕴涵项构造一个对所有除反蕴涵项所含点之外的点而言值为1的文字和。对各变量x 而言，如果相应的反蕴涵项只包含x=0的点，则该文字和中具有文字x，而如果相应的反蕴涵项中只有那些x=1的点，它就具有文字。否则，该文字和中不含有涉及x的文字。

5. 利用习题4得到的答案，为习题1中的各函数写出相应的合取范式。要让合取范式中包含尽可能少的文字和。

6. ** 在4×4的卡诺图中，有多少构成蕴涵项的(a)1×2(b)2×2(c)1×4(d)2×4矩形？假设变量分别是p、q、r 和s，把它们的蕴涵项描述成文字积的形式。

12.7　重言式

重言式（tautology）是指不管其命题变量的值如何，其值都为真的逻辑表达式。对重言式而言，真值表的所有行，或者说卡诺图中的所有点，都具有值1。简单的重言式例子包括

TRUE

重言式有很多重要用途。例如，假设形如E1≡E2这样的表达式是重言式。那么，只要在任何表达式中出现E1的实例，就可以用E2替换E1，而得到的表达式仍然表示相同的布尔函数。

图12-18a展示了包含子表达式E1的逻辑表达式F所对应的表达式树。而图12-18b则是用E2代替E1的相同表达式树。原因在于，我们知道两棵树中标记为n的节点，也就是对应E1和E2的表达式树的根节点，在两棵树中一定有着相同的值，因为有E1≡E2。而为两棵树中n以上的部分求值，显然会得出相同的值，这样就证明了两棵树是等价的。这种等价表达式可以彼此替换的能力通俗点讲就是“以相等换相等”。请注意，在其他的代数，诸如算术、集合、关系或正则表达式代数中，也可以把一个表达式替换为另一个具有相同值的表达式。

图 12-18　展示以相等换相等的表达式树

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