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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

示例 12.18

考虑逻辑运算符OR的结合律，可以将其表示为表达式

((p+q)+r )≡(p+(q+r ))　　　　　　(12.7)

图12-19展示了对应各子表达式的真值表。而标号为E 的最后一列就表示整个表达式。不难看出，对应E 的每一行都具有值1，这说明表达式(12.7)是重言式。这样一来，只要我们看到形如(p+q)+r 的表达式，就可以直接将其替换为p+(q+r )。请注意，p、q和r可以代表任何表达式，只要两边的p、q 和r 各自使用了相同的表达式，可以保持一致即可。

图 12-19　证明OR的结合律的真值表

12.7.1　替换原则

正如我们在示例12.18中指出的，当给出涉及某些特定命题变量的法则时，该法则不仅适用于字面上的那些变量，而且可以用任何表达式来替换各变量。根本原因在于，在我们对重言式的一个或多个变量进行替换后，重言式还是重言式。这一事实称为替换原则（substitution principle）。2当然，我们必须用同样的表达式替换多次出现的同一个变量。

2不应该把替换原则与“以相等换相等”弄混。替换原则只适用于重言式，而在任何表达式中都能够以相等换相等。

示例 12.19

逻辑运算符AND的交换律可以通过证明逻辑表达式pq ≡qp 是重言式得到验证。要得到这一法则的一些实例，可以对该表达式进行替换。例如，可以用 r + s 替换p，并用替换q，得到等价式

请注意，这里为每个被替换的表达式都加上了括号，以防因为运算符优先级约定而意外改变运算符的分组。在该情况中，r+s 两边的括号是必要的，但两边的括号则可以省略掉。

还有其他的替换实例如下。可以用r 替换p，而且不替换q，这样就得到rq ≡qr。可以只留下p，把q 替换为常量表达式1（TRUE），从而得到p AND 1≡1 AND p。不过，我们用r 代替式子中 出现的第一个p，并用另一个不同的表达式r+s 替换第二个p。也就是说，rq ≡q(r+s )不是重言式（如果s=q=1且r =0，它的值就是0）。

如果考虑表达式树，就可以看到替换原则一直成立的原因了。想象一下对应某个重言式的表达式树，比如图12-20所示的对应示例12.19中重言式的表达式树。因为该表达式是重言式，所以我们知道，不管为处于叶子节点处的命题变量指定什么真值，根节点的值都为真（只要我们为标号为某给定变量的各个叶子节点指定相同的真值）。

图 12-20　对应重言式 pq ≡qp 的表达式树

现在假设用具有表达式树Tp 的表达式替换p，并用具有表达式树Tq 的表达式替换q，一般来说，我们会为重言式的每个变量选择一棵树，并用为该变量选择的树替换对应该变量的所有叶子节点。3这样就得到了一棵类似图12-21所示的新表达式树。当为新树的变量指定真值时，作为树Tp 根节点的各个节点都有相同的值，因为任何这样的节点背后都执行了相同的求值步骤。

3作为特例，为某个变量x选择的树可能是标号为x的单个节点，就和没有对x 进行替换一样。

图 12-21　对图12-20中变量的替换

一旦图12-21中Tp 和Tq 这样的树的根节点完成求值，就得到与图12-20所示的原有的树根节点处变量相同的值。也就是说，不管我们为出现的那些Tp 算出什么样的值，它们一定是全部相同的，我们要取这个值，并将其指定给原有的树中标号为p 的叶子节点。我们还要为q 进行相同的处理，而且一般来说，要为出现在原有的树中的任何节点进行这一处理。因为原有的树表示重言式，所以可知为该树求值会在根节点得到值TRUE，而且新构造的树也能在根节点处生成值TRUE。因为不管为新树中的变量进行怎样的值替换，以上推理都能保持成立，所以可以得出结论：由新树表示的表达式也是重言式。

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