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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

同样，在示例12.7中，我们使用了表达式xc 来涵盖第(5)和第(7)行，并用yc 涵盖第(3)和第(7)行。请注意，所有3个表达式都涵盖了第7行。不过这并没有什么坏处。其实，假如分别只使用对应第(5)和第(3)行的最小项，也就是和，来替代xc 和yc，我们会得到正确的表达式，但它就要比示例12.7中得到的表达式xy+xc+yc 多两个运算符。

这里的基本概念就是，如果两个最小项唯一的区别是某一个变量的值相反，比如第(6)和第(7)行的和xyc，就可以通过取相同的文字并去掉那个有区别的变量，把两个最小项结合起来。这一结论遵从以下一般法则

要理解这一等价性，就要注意到如果q 为真，那么要么pq 为真。要么为真。而且反过来，如果pq 或有一个为真，那么一定有q 为真。

12.7节中介绍了验证这些法则的技巧，不过现在只要其直觉含义支撑其使用即可。还要注意到，该法则的使用并不仅限于最小项。例如，可以设p 是任意命题变量，而q 是任意的文字之积。你可以合并任何两个只有一个变量不同的文字积（一个积含有变量本身，另一个则含有其互补变量），用由相同文字组成的一个积代替这两个积。

12.6.1　卡诺图

有一种制图技巧，可以根据真值表设计析取范式，这种方法对最多含4个变量的布尔函数来说效果甚佳。这种思路就是把真值表写成名为卡诺图（Karnaugh map）的二维数组，该二维数组的项（或者说“点”）各自表示真值表中的行。通过让只有一个变量不同的行所对应的点保持邻接，可以把有用的文字积看作某些矩形，而这些矩形中的点的值都是1。

12.6.2　双变量卡诺图

最简单的卡诺图是对应双变量布尔函数的。各行对应着其中一个变量的值，而各列对应另一个变量的值。图中的项是0或1，取决于两个变量值的组合使函数的值为0还是为1。因此，该卡诺图是双变量布尔函数真值表的二维表示。

示例 12.10

在图12-11中，我们看到表示“蕴涵”函数p→q 的卡诺图。其中4个点分别对应着p 和q 的值4种可能的组合。请注意，除了p=1且q=0的情况之外，“蕴涵”的值都是1，因此，卡诺图中值为0的点只有对应p=1且q=0的那项，其他点的值都是1。

图 12-11　表示p→q 的卡诺图

12.6.3　蕴涵项

布尔函数f 的蕴涵项（implicant）是一些文字的积x，它满足的条件是：f 中变量的任何赋值组合都不能使x 为真且f 为假。例如，每一个让函数f 的值是1的最小项都是f 的蕴涵项。不过，其他积也可以是蕴涵项，我们将会了解如何从f 的卡诺图中解读这些蕴涵项。

示例 12.11

最小项pq 是图12-11中“蕴涵”函数的蕴涵项，因为让pq 为真的变量赋值组合（即p=1且q=0）也能使“蕴涵”函数为真。

再举个例子，本身也是“蕴涵”函数的蕴涵项，因为使为真的两种p 和q 赋值组合，也能让p→q 为真。这两种赋值组合分别是p=0且q=0，以及p=0且q=1。

蕴涵项涵盖了函数值为1的那些点。通过为涵盖了所有令函数值为1的点的蕴涵项取OR，就可以为布尔函数构建逻辑表达式。

示例 12.12

图12-12展示了对应“蕴涵”函数的卡诺图中的两个蕴涵项。较大的那个涵盖了两个点，对应着单个文字。这一蕴涵项涵盖了卡诺图中顶部的两个点，这两个点的值都是1。而较小的蕴涵项pq 涵盖了p=1且q=1的那个点。因为这两个蕴涵项加在一起涵盖了所有值为1的点，所以它们的和就是与p→q 等价的表达式，也就是说。

图 12-12　表示p→q 的卡诺图中的两个蕴涵项和pq

与卡诺图中的蕴涵项对应的矩形必须具有特殊的“外观”。对源自双变量函数的简单卡诺图来说，这些矩形只可能是下列之一。

1. 单个点；

2. 某行或某列；

3. 整个图。

卡诺图中的单个点对应着最小项，通过为该点所在行和列相应变量对应的文字求积，便可以得出其表达式。也就是说，如果该点所在的行或列是0，就可以分别为该行或该列对应的变量取反。如果该点在对应1的行或列中，就取对应的变量本身。例如，图12-12中较小的蕴涵项就在p=1的那行和q=1的那列中。这就是我们要用非否定文字p 和q 的积作为该蕴涵项的原因。

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