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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

要开始对最小项的解释，首先要提到文字（literal），这里的文字要么为单个命题变量（比如p），要么为求反变量（比如我们一般会写为p 的NOT p）。如果真值表中有k 列表示变量的列， 那么每个最小项都是由k 个文字的逻辑AND（或“积”）表示的。设r 是我们想为其构建最小项的某一行。如果变量p 在行r 的值是1，就选择文字p。如果p 在行r 的值是0，则选择p 作为文字。行r 的最小项就是各变量对应文字的积。明确地讲，如果所有变量都有真值表行r 中的值，那么最小项的值就只可能是1。

现在要通过为与函数值为1的行对应的最小项求逻辑OR（或“和”），来为函数构建表达式。得到的表达式具有“积的和”的形式，或者说它是析取范式（disjunctive normal form）。该表达式是正确的，因为只有在存在值为1的最小项时，它的值才是1，而除非变量的值对应着真值表中该最小项所在的那行，而且该行的值为1，否则该最小项不可能为1。

示例 12.9

我们来为由图12-8中的真值表所定义的进位输出函数d 构建析取范式。值为1的行的编号分别是3、5、6和7。第3行有x=1、y=1和c=1，因此该行的最小项是 AND y AND c，可以将其简写为。类似地，第5行的最小项是，第6行的最小项是，而第7行的最小项是xyc。因此所需的对应d 的表达式就是这些表达式的逻辑OR，也就是

　　　　　　(12.6)

这一表达式要比(12.5)更复杂。不过，我们将在12.6节中看到如何得出表达式(12.5)。

同样，通过把对应第1、2、4和7行的最小项相加，可以为和值位z 构建逻辑表达式，得到

运算符的完全集

用来设计(12.6)式这样析取范式的最小项技术表明，逻辑运算符AND、OR和NOT的集合是完全集，就是说，每个布尔函数都具有只使用这3种运算符的表达式。不难证明NAND本身也是完全的。我们可以将涉及AND、OR和NOT的函数只用NAND表示成如下这样。

1. ( p AND q)≡(( p NAND q) NAND TRUE)

2. ( p OR q)≡(( p NAND TRUE ) NAND (q NAND TRUE ))

3. ( NOT p)≡(p NAND TRUE)

通过用合适的NAND表达式来替换用到AND、OR和NOT的地方，可以把任何析取范式转换成只涉及NAND的表达式。同样，NOR自身也是完全的。

由运算符AND和OR构成的集合就不是完全集。比方说，它们没法表示函数NOT。要知道原因，我们可以注意到AND和OR都是单调的，这就是说，在把任何一个输入从0变为1时，输出都不能从1变成0。可以通过对表达式的大小进行归纳，证明任何只有AND和OR运算符的表达式都是单调的。不过NOT显然不是单调的，因此没办法只用AND和OR表示NOT。

图 12-10　用于习题的两个布尔函数

12.5.3　习题

1. 图12-10是用变量p、q 和r 定义a 和b 这两个布尔函数的真值表，为这两个函数分别写出析取范式。

2. 为下列函数写出合取范式（见下面的附注栏“和的积表达式”）。

(a) 图12-10中的函数a。

(b) 图12-10中的函数b。

(c) 图12-8中的函数z。

和的积表达式

有两种方式可以把真值表转换成涉及AND、OR和NOT的表达式，这里的表达式将会是文字之和（逻辑OR）的积（逻辑AND）。这种形式就叫作“和的积”，或合取范式（conjunction normal form）。

对真值表的各行而言，我们可以定义最大项，它是与所在行中某一参数变量的值不相同的文字的和。也就是说，如果该行中变量p 的值是0，就使用文字p，如果那行中p 的值为1，就使用。因此，除非每个变量p 都具有该行指定给p 的值，否则最大项的值就是1。

因此，如果查看真值表中值为0的各行，并为这些行的最大项取逻辑AND，该表达式就只会在输入匹配函数值为0的某一行时值为0。这样一来，该表达式对其他各行而言值都为1，也就是对真值表中函数值为1的那些行来说都是1。例如，图12-8的真值表中，第0、1、2和4行对应d 的值为0。比方说，第0行的最大项就是x+y+c，而第1行的最大项就是，所以d 的合取范式就是

该表达式与(12.5)和(12.6)式都是等价的。

3. ** 以下哪个逻辑运算符可以单独形成运算符完全集：(a)≡；(b)→；(c)NOR？在每种情况中都对自己的答案加以证明。

4. ** 在16个双变量的布尔函数中，有多少函数自身就是完全的？

5. * 证明，单调函数的AND和OR还是单调的。然后证明只含AND和OR运算符的表达式都是单调的。

12.6　利用卡诺图设计逻辑表达式

在本节中，我们要展示一种为布尔函数确定析取范式的制表技巧。用这种方法生成的表达式通常要比12.5节中通过为真值表中所有必要的最小项求逻辑OR这样的权宜之计所构建出的表达式更简单。

举例来说，在示例12.7中，我们为一位加法器的进位输出函数对应的表达式进行了专门设计。可以看到，有可能使用不是最小项的文字之积，也就是说，缺少与某些变量对应的文字。例如，可以用文字之积xy 来涵盖图12-8中的第(6)和第(7)两行，因为只有在变量x、y 和c 具有这两行中的某一行所表示的值时，xy 的值才是1。

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