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磁县，隶属河北省邯郸市。古称磁州，是中国磁州窑文化的发祥地。位于中原经济协作区中心地带，晋、冀、鲁、豫四省通衢，与石家庄、郑州、太原、济南4个省会城市的距离均在200公里左右。 [1]  2019年，磁县辖11个乡镇，地域面积688平方公里，总人口50万人。地势西高东低，西部属太行山东麓，东部为山前冲积平原，山区、丘陵、平原各占三分之一。 [2] 

磁县自公元222年设县，迄今已1800多年。 [1]  磁县的旅游景点有鼓楼、贺兰山、河北纸马、磁州窑博物馆等旅游景点。盛产柿子、花椒、核桃、松花蛋等特产。

该问题是电路设计中的基础问题。表达式中的逻辑运算符可以被理解成电路的门，这样的话就存在从逻辑表达式到电子电路的直接转化，这种转化是通过第13章将要讨论的过程实现的。

图 12-7　一位加法器：(dz )2是x+y+c 的和

示例 12.7

正如我们在1.3节中看到的，可以用图12-7所示的这种一位加法器设计32位加法器。一位加法器会把两个输入位x 和y 与进位输入位c 相加，得到进位输出位d 与和值位z。

图12-8中的真值表给出了进位输出位d 与和值位z 的值，将其表示为对应8种输入值组合的x、y、c 的函数。如果x、y 和c 中至少有两个的值是1，进位输出位d 就是1，而只有在输入中没有1或者只有一个1时，才有d=0。如果x、y 和c 中有奇数个为1，和值位z 就是1，否则就是0。

图 12-8　对应进位输出位d 与和值位z 的真值表

我们要展示一种从真值表立即转换成逻辑表达式的一般性方法。不过，给定图12-8中进位输出函数d 的情况下，可以按照如下方式进行推理，构建对应的逻辑表达式。

(1) 从第3行和第7行可知，如果y 和c 都是1，则d 是1。

(2) 从第5行和第7行可知，如果x 和c 都是1，则d 是1。

(3) 从第6行和第7行可知，如果x 和y 都是1，则d 是1。

条件(1)可以用逻辑表达式y AND c模拟，因为y AND c 只有在y 和c 都是1时才为真。同样，条件(2)可以用x AND c 模拟，而条件(3)则可通过x AND y 模拟。

所有有d=1的行都是这3种情况中的某一行。因此可以写出一个逻辑表达式，它只要在这3个条件中至少有一个成立的情况下为真即可，也就是要为这3个表达式取逻辑OR：

(y AND c) OR (x AND c) OR (x AND y)　　　　　　(12.5)

这一表达式的正确性在图12-9中得到了验证。后4列分别对应子表达式y AND c、x AND c、x AND y和表达式(12.5)。

图 12-9　对应进位输出表达式(12.5)及其子表达式的真值表

12.5.1　简化符号

在继续描述如何从真值表构建表达式之前，我们要对表示法进行一些有意义的简化。

1. 可以通过直接并列（也就是不使用任何运算符）表示AND运算符，就像表示乘法，以及第10章中表示串接时那样。

2. OR运算符可以表示为+。

3. NOT运算符可以用上横线表示。这种约定在NOT应用到单个变量上时特别实用，我们经常把NOT p 写为。

示例 12.8

表达式p AND q OR r可以写为pq+r，表达式p AND NOT q OR NOT r 则可以写为。我们甚至可以将原始符号与简化符号混用。例如，表达式

((p AND q) → r ) AND (p → s)

可以写成(pq → r ) AND (p → s)，甚至可以写成(pq → r ) (p → s)。

使用这种新表示法的一个重要原因在于，这样可以让我们把AND和OR视作算术运算中的乘法和加法。因此可以应用诸如交换律、结合律和分配律这样的类似法则，在12.8节中我们将会看到这些法则适用于这些逻辑运算符，就像这些法则对相应的算术运算符所做的那样。例如，我们会看到p(q+r)可以被pq+pr 替换，然后被rp+qp 替换，不管涉及的运算符是AND和OR，还是乘法和加法。

因为有了这种简化符号，通常可以把表达式的AND称为积，把表达式的OR称为和。表达式的AND也可以称为合取（conjunction），而表达式的OR还可以叫作析取（disjunction）。

12.5.2　从真值表构建逻辑表达式

任何布尔函数都可以用使用AND、OR和NOT运算符的逻辑表达式表示。为给定的布尔函数找到最简单的表达式一般是很难的。不过，为布尔函数构建某一表达式却很容易，用到的技巧也很简单。首先从函数的真值表开始，构建形如

m1 OR m2 OR…OR mn

的逻辑表达式。各个mi 都是与真值表中让函数的值为1的某一行对应的。因此该表达式中项数与表示函数的那列中1的个数是相等的。这些mi 项都被叫作最小项（minterm），并具有下面将要描述的特殊形式。

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