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河间市，古称河涧、瀛州，河北省辖县级市，由沧州市代管，东与沧县、青县接壤，北与大城县、任丘市交界，西与肃宁县、高阳县相邻，南与献县相连。属于湖积冲积平原，地势自西南向东北逐渐降低，典型大陆性季风气候，受季风影响，四季分明。截至2015年底，辖20个乡镇，615个行政村 [1]  ，总面积1333平方公里 [33]  ，总人口88.2万人。1990年10月撤县设市。 [2-3] 

河间市地处华北平原，盛产多种粮棉瓜果，尤以金丝小枣、天津鸭梨等著名。工业产品种类很多，化工、纺织、电缆均较突出，形成了以电线电缆、保温材料、汽车配件、建材、花卉、餐具为主的六大支柱产业。

2016年，河间市完成地区生产总值287.2亿元，增长8.2%。 [4]  2019年12月，成为全国乡村治理体系建设试点单位。2020年9月，入选河北省食品产业强县（市、区）（培育型）名单。

示例 10.25

下面我们来为正则表达式a | bc*构造自动机。对应该正则表达式的表达式树如图10-29所示，它类似于我们在5.2节中讨论过的表达式树，并有助于我们了解运算符应用到操作数上的次序。

图 10-29　与正则表达式a|bc*对应的表达式树

总共有3个叶子节点，而且我们为每个叶子节点都构造了类似图10-27c所示的自动机实例。这些自动机如图10-30所示，而且使用了与图10-26所示的自动机（正如我们提到过的，这是我们最终要为该正则表达式构造的自动机）一致的状态。不过，大家应该明白，对应多次出现的操作数的自动机有着不同的状态。在这个例子中，因为每个操作数都是不同的，我们能想到要为每个操作数使用不同状态，不过，打个比方说，如果表达式中出现了多个a，就要为每个a创建不同的自动机。

现在必须应用运算符并构建随着进程更大的自动机，逐步建立起图10-29中的树。最先应用的运算符是闭包运算符，它是应用到操作数c上的。我们利用了图10-28c中对应闭包运算的构造方法。引入的新状态分别称为状态6和状态9，还是与图10-26保持一致。图10-31展示了与正则表达式c\*对应的自动机。

图 10-30　对应a、b和c的自动机

图 10-31　对应c*的自动机

接下来对b和c*应用了串接运算符。利用的是图10-28b的构造方法，得到的自动机如图10-32所示。

图 10-32　对应bc*的自动机

最后，我们对a和bc*应用取并运算符。这里用到了图10-28a所示的构造方法，而且将引入的新状态称为状态0和状态3，得到的自动机就如图10-26所示。

10.8.3　消除ε 转换

如果我们在具有ε 转换的某自动机的任意状态s 中，其实也是在从状态s 沿着由标记为ε 的弧形成的路径可以到达的任意状态。原因在于，不管是什么字符串标记了到达状态s 所经过的路径，同样的字符串都是用ε 转换扩展过的该路径的标号。

示例 10.26

在图10-26中，可以沿着标记了b的路径到达状态5。从状态5起，可以沿着由标记了ε 的弧形成的路径到达状态6、状态7、状态9和状态3。因此，如果我们在状态5中，其实也就在其他4个状态中。例如，因为状态3是接受状态，所以也可以把状态5视作接受状态，因为能把我们带到状态5的每个输入字符串，也能把我们带到状态3，因此是可以被接受的。

因此，要问的第一个问题是，从各状态开始，只沿着ε转换可以到达哪些其他状态？在9.7节中，我们在了解深度优先搜索的一种应用（可达性问题）时，给出了回答这一问题的算法。对这里的问题来说，要对表示有限自动机的图进行的修改，只是要把图中所有除ε转换之外的转换删除。也就是说，对每个实际的符号x，要删除所有标记为x的弧。然后从剩下的图中各个节点开始进行深度优先搜索。在从节点v 开始的深度优先搜索期间访问过的节点，刚好就是从v 开始只使用ε 转换便可到达的节点组成的集合。

回想一下，深度优先搜索要花费O(m)的时间，其中m 是图中节点数和弧数的较大者。在这种情况下，如果图中有n 个节点，要进行n 次深度优先搜索，总共要花O(mn)的时间。不过，在通过在本节前面的内容中描述的算法从正则表达式构造的自动机中，任意节点出发的弧最多只有两条。因此m≤2n，而且O(mn)就是O(n2)的时间。

示例 10.27

在图10-33中，可以看到从图10-26中删除标记了由实际符号a、b、c标记的3条弧后剩下的弧。图10-34中的表给出了图10-33的可达性信息，也就是说第i 行和第 j 列的1就表示存在从节点i 到节点 j 的长度为0或以上的路径

图 10-33　图10-26中的ε 转换

图 10-34　图10-33对应的可达性表

有了可达性信息之后，就可以构造不含ε 转换的等价自动机。思路就是把旧自动机中具有0次或多次ε 转换一条路径以及后面标记为实际符号的一次转换，捆绑成新自动机中的一次转换。每一次这样的转换，都会将我们带到图10-27c的依据规则（操作数为实际符号时的规则）引入的自动机中第二个状态。原因在于，这些状态只有以真实符号为标号的弧才进入。因此，我们的新自动机只需要这些状态，以及对应其自身状态集的起始状态。可以把这些状态叫作重要状态。

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