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河间市，古称河涧、瀛州，河北省辖县级市，由沧州市代管，东与沧县、青县接壤，北与大城县、任丘市交界，西与肃宁县、高阳县相邻，南与献县相连。属于湖积冲积平原，地势自西南向东北逐渐降低，典型大陆性季风气候，受季风影响，四季分明。截至2015年底，辖20个乡镇，615个行政村 [1]  ，总面积1333平方公里 [33]  ，总人口88.2万人。1990年10月撤县设市。 [2-3] 

河间市地处华北平原，盛产多种粮棉瓜果，尤以金丝小枣、天津鸭梨等著名。工业产品种类很多，化工、纺织、电缆均较突出，形成了以电线电缆、保温材料、汽车配件、建材、花卉、餐具为主的六大支柱产业。

2016年，河间市完成地区生产总值287.2亿元，增长8.2%。 [4]  2019年12月，成为全国乡村治理体系建设试点单位。2020年9月，入选河北省食品产业强县（市、区）（培育型）名单。

图10-27a中的自动机显然不接受任何字符串，因为我们没办法从起始状态到达接受状态，因此它的语言为∅。图10-27b是对应ε 的，因为它只接受空字符串。图10-27c是只接受字符串x的自动机。我们可以用为符号x选择的不同值创建新的自动机。请注意，这些自动机都能满足上述3个要求，只有一个接受状态，没有进入起始状态的弧，也没有从接受状态出发的弧。

归纳。现在假设S(i )对所有的i≤n 都成立，也就是说，对任意最多具有n 个运算符的正则表达式R 来说，存在自动机满足归纳假设的条件，并且只接受L(R )中的所有字符串。现在，设R 是具有n+1个运算符的正则表达式。我们可以将注意力放在R“最外侧”的运算符上，也就是说，R 只可能是R1|R2、R1R2或R1*这样的形式，具体取决于形成R 时最后用到的那个运算符是区别、串接还是闭包。

在这3种情况的任意一种中，R1和R2都不可能具有n 个以上运算符，因为R中有一个运算符不属于R1和R2中的任何一个。7因此，归纳假设在所有这3种情况下都是适用于R1和R2的。我们可以通过依次考虑这几种情况来证明S(n+1)。

7不要忘了，即便串接是通过并置操作数来表示的，并没有可见的运算符符号，但在确定R 中出现了多少个运算符时，仍然要将串接的使用记入运算符出现的次数中。

情况1。如果R=R1|R2，那么可构建图10-28a中的自动机。取R1和R2，并添加两个新状态（一个起始状态和一个接受状态），从而构造了该自动机。与R对应的自动机的起始状态具有到与R1和R2对应的自动机起始状态的ε 转换。这两个自动机的接受状态分别有到对应的自动机接受状态的ε 转换。不过，与R1和R2对应的自动机的起始状态与接受状态不是构造出的自动机的起始状态和接受状态。

这种构造之所以行得通，是因为从对应R 的自动机的起始状态到接受状态的唯一方式，是沿着一条标记为ε 的弧到与R1对应或与R2对应的自动机的起始状态。然后必须沿着所选自动机中的路径到达其接受状态，之后经过ε 转换到达与R 对应的自动机的接受状态。这一路径是由我们行经的自动机所接收的某个字符串s 标记的，因为我们从该自动机的起始状态行至了接受状态。因此，s 要么在L(R1)中，要么在L(R2)中，这取决于我们行经的自动机到底是哪个。因为我们只为路径的标号增加了ε，所以图10-28a中的自动机也接受s。因此被接受的字符串都在L(R1)∪L(R2)中，也就是在L(R1|R2)，或者说L(R )中。

图 10-28　根据正则表达式构造自动机的归纳部分

情况2。如果R=R1R2，那么可以构造如图10-28b所示的自动机。该自动机的起始状态是与R1对应的自动机的起始状态。而它的接受状态是与R2对应的自动机的接受状态。我们添加了从与R1对应的自动机的接受状态到与R2对应的自动机的起始状态的ε 转换。第一个自动机的接受状态不再是接受状态，而第二个自动机的起始状态在构造的自动机中也不再是起始状态。

在图10-28b所示的自动机中，从起始状态到接受状态的唯一方式如下：

1. 顺着由L(R1)中某字符串s 标记的路径，从起始状态到达与R1对应的自动机的接受状态；

2. 接着沿着标记为ε 的路径到达与R2对应的自动机的起始状态；

3. 然后顺着由L(R2)中某字符串t 标记的路径，到达其接受状态。

这条路径的标号是st。因此图10-28b中的自动机接受的刚好是L(R1R1)，也就是L(R )中的字符串。

情况3。如果R＝R1*，则可以构造如图10-28c所示的自动机。我们为与R1对应的自动机添加了新的起始状态和接受状态。这个新的起始状态具有到新接受状态的ε 转换（所以字符串ε 会被接受），而且有到与R1对应的自动机的起始状态的ε 转换。与R1对应的自动机的接受状态被赋予了回到其起始状态的ε 转换，以及到与R 对应的自动机的接受状态的ε 转换。与R1对应的自动机的起始状态与接受状态不再是构造出的自动机的起始状态与接受状态。

图10-28c中从起始状态到接受状态的路径要么标记为ε（如果是直接到达），要么是由L(R1)中一个或多个字符串的串接来标记，一如我们行经与R1对应的自动机，并且按自己喜好反复回到其起始状态一样。请注意，我们每次在行经与R1对应的自动机时，并不一定都要沿着相同的路径。因此，经过图10-28c的路径的标号刚好是L(R1*)，也就是L(R )中的字符串。

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