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河间市，古称河涧、瀛州，河北省辖县级市，由沧州市代管，东与沧县、青县接壤，北与大城县、任丘市交界，西与肃宁县、高阳县相邻，南与献县相连。属于湖积冲积平原，地势自西南向东北逐渐降低，典型大陆性季风气候，受季风影响，四季分明。截至2015年底，辖20个乡镇，615个行政村 [1]  ，总面积1333平方公里 [33]  ，总人口88.2万人。1990年10月撤县设市。 [2-3] 

河间市地处华北平原，盛产多种粮棉瓜果，尤以金丝小枣、天津鸭梨等著名。工业产品种类很多，化工、纺织、电缆均较突出，形成了以电线电缆、保温材料、汽车配件、建材、花卉、餐具为主的六大支柱产业。

2016年，河间市完成地区生产总值287.2亿元，增长8.2%。 [4]  2019年12月，成为全国乡村治理体系建设试点单位。2020年9月，入选河北省食品产业强县（市、区）（培育型）名单。

有了可达性信息之后，就可以构造不含ε 转换的等价自动机。思路就是把旧自动机中具有0次或多次ε 转换一条路径以及后面标记为实际符号的一次转换，捆绑成新自动机中的一次转换。每一次这样的转换，都会将我们带到图10-27c的依据规则（操作数为实际符号时的规则）引入的自动机中第二个状态。原因在于，这些状态只有以真实符号为标号的弧才进入。因此，我们的新自动机只需要这些状态，以及对应其自身状态集的起始状态。可以把这些状态叫作重要状态。

在构造的新自动机中，如果存在某个状态k 满足以下条件，就有从重要状态i 到重要状态 j 的，标号中含有符号x的转换。

1. 从状态i 沿着具有0次或多次ε 转换的路径可达状态k。请注意，k=i 一直是可以的。

2. 在旧自动机中，存在从状态k 到状态 j，标记为x的转换。

我们还必须决定新自动机中哪些状态是接受状态。正如上文提到过的，当我们在某个状态中时，其实就是在由该状态沿着标记为ε 的弧所能到达的任意状态中。因此如果在旧自动机中从状态i 到其接受状态之间存在由标记为ε 的弧形成的路径，就将状态i 作为新自动机的接受状态。请注意，状态i 本身可能就是旧自动机的接受状态，并因此在新自动机中仍然是接受状态。

示例 10.28

我们来将图10-26所示的自动机转变为接受相同语言但不带ε 转换的自动机。首先，重要状态包括作为初始状态的状态0，以及由标记了实际符号的弧进入的状态2、状态5和状态8。

首先从找到状态0对应的转换开始。根据图10-34，从状态0可以沿着由标记了 ε 的弧构成的路径到达状态0、状态1和状态4。我们发现有针对a的从状态1到状态2的转换，而且有针对b的从状态4到状态5的转换。因此，在新自动机中，存在从状态0到状态2的标记为a的转换，并存在从状态0到状态5的标记为b的转换。请注意，我们已经把图10-26中的路径0→1→2和0→4→5压缩成标记了这些路径上非 ε 转换的标号的转换。因为状态0，以及从它出发沿着以 ε 标记的路径可达的状态1和状态4都不是接受状态，所以在新自动机中，状态0不是接受状态。

图 10-35　通过消除ε 转换，根据图10-26构造的自动机。请注意，该自动机只接受L(a|bc*)中的所有字符串

接下来，考虑从状态2出发的转换。图10-34告诉我们，从状态2出发，通过ε 转换只能到达它本身和状态3，因此我们必须寻找从状态2或状态3出发针对实际符号的转换。因为没找到，所以可知在新自动机中没有从状态2出发的转换。不过，状态3是接受状态，而且从状态2经过ε 转换可以到达状态3，所以状态2就是新自动机的接受状态。

在考虑状态5时，图10-34表明要查看状态3、状态5、状态6、状态7和状态9。在这些状态中，只有状态7具有从自身出发的非ε 转换，它被标记为c，而且通向状态8。因此，在新自动机中，从状态5出发的唯一转换就是针对c的到状态8的转换。因为从状态5沿着标记了ε 的弧可以到达接受状态3，所以我们把状态5也作为新自动机的接受状态。

最后，一定要查看从状态8出发的转换。经过类似对状态5进行的推理可以得出，在新自动机中，从状态8出发的唯一转换是到它自身的，而且被标记为c。因此，状态8也是新自动机的接受状态。

图10-35展示了该新自动机。请注意，它接受的字符串集正好是L(a|bc*)中的那些字符串，也就是将我们带到状态2的字符串a，将我们带到状态5的字符串b，以及bc、bcc、bccc这些将我们带到状态8的一系列字符串。图10-35中的自动机刚好是确定自动机。如果它不是，假设想设计可以识别原正则表达式的字符串的程序，就可以利用子集构造将其转化为确定自动机。

顺便提一下，存在与图10-35接受同一语言的更加简化的确定自动机，该自动机如图10-36所示。事实上，只要意识到状态5和状态8是等价并可以被合并的，就可以得到这一改进过的自动机。得到的状态就是图10-36中的状态5。

图 10-36　对应语言L(a|bc*)的更简单的自动机

10.8.4　习题

1. 为以下正则表达式构造具有ε转换的自动机。

(a) aaa。提示：请记住，要为出现的每个a创建新自动机。

(b) (ab|ac)*。

(c) (0|1|1*)*。

2. 为习题1中构造的各个自动机找到由标记为ε 的弧构成的图中节点的可达集。请注意，在大家构造不含ε 转换的自动机时，只需要为初始状态和那些有非ε 转换进入的状态构造可达状态。

3. 为习题1中构造的各个自动机构造不含ε 转换的等价自动机。

4. 习题3得出的自动机中哪些是确定自动机？为其中那些非确定自动机构造等价的确定自动机。

5. * 对由习题3和习题4构造的确定自动机而言，是否存在状态更少的等价确定自动机？如果有，找出状态最少的那个。

6. * 我们可以扩展从正则表达式构造含ε 转换的自动机的过程，将正则表达式的范围扩大到包含那些使用了10.7节中扩展过的运算符的表达式。这一命题从原则上讲是成立的，因为那些扩展都是“原始”正则表达式的简略形式，我们只是用扩展的运算符替代了原有的表达式而已。不过，还可以直接把扩展过的运算符融入到我们的构造过程中。说明如何修改构造过程以涵盖下列运算符：

(a) ? 运算符（不出现或出现1次）；

(b) + 运算符（出现1次或更多次）；

(c) 字符类。

7. 我们可以修改把正则表达式转化为自动机的算法中对应串接的情况。在图10-28b中，引入了从与R1对应自动机的接受状态到与R2对应自动机的初始状态的ε 转换。另一种方式就是按照图10-37所示的方式合并R1的接受状态到R2的初始状态。使用旧算法与修改过的算法为正则表达式ab*c构造自动机。

图 10-37　另一种与两个正则表达式的串接对应的自动机

10.9　从自动机到正则表达式

本节中还要展示自动机与正则表达式等价性的另一半，证实对每个自动机A，都存在语言刚好是A所接受的字符串集合的正则表达式。尽管我们一般会使用10.8节中的构造过程，其中要把正则表达式形式的“设计”转化为确定自动机形式的程序，不过把自动机转化为正则表达式的构造过程也是很有趣很有益的,它完成了这两种截然不同的模式表示法的表现力之间的等价性的证明。

我们的构造过程涉及从自动机中一个一个地删除状态。随着构造过程的进行，会把弧上的标号由最初的字符串集合替换为更复杂的正则表达式。一开始，如果弧上的标号是{x1，x2，…，xn}，就可以把这些标号替换为正则表达式x1 | x2 | … | xn，该正则表达式从本质上讲表示的是相同的符号集合，虽然严格地讲正则表达式表示的是长度为1的字符串。

一般而言，可以将路径的标号视为路径沿线上正则表达式的串接，或是看作这些表达式的串接定义的语言。这一观点与我们用字符串标记路径的概念是一致的。也就是说，如果路径的弧是用正则表达式R1、R2、…、Rn 按此次序标记的，则当且仅当字符串w在语言L(R1R2…Rn)中时有该路径被标记为w。

示例 10.29

考虑图10-38中的路径0→1→2。正则表达式a|b和a|b|c依次标记了这两条弧，因此标记该路径的字符串集合是由正则表达式(a | b)(a | b | c)定义的语言中的字符串构成的，也就是{aa，ab，ac，ba，bb，bc}。

图 10-38　以正则表达式作为标号的路径，路径的标号是由正则表达式的串接定义的语言

10.9.1　状态消除的构造

在从自动机到正则表达式的转化中，关键的步骤就是状态的消除，如图10-39所示。我们希望消除状态u，不过必须保留弧的正则表达式标号，从而使剩余状态中两两之间路径的标号集合不发生改变。在图10-39中，状态u 的前导分别是s1、s2、…、sn，而u 的后继则分别是t1、t2、…、tm 。虽然已经证明了这些s 和t 是不相交的状态集，但其实两组中还是可能存在一些相同的状态。

图 10-39　我们想消除状态u

不过，如果u是它本身的后继，我们就要用标记为U 的弧明确表示这一事实。假设在状态u 处没有这样的自环，那么可以引入一个这样的自环，并赋予其标号∅。标号为∅的弧是“不存在的”，因为任意用到这条弧的路径标号都会是含有∅的正则表达式的串接。因为∅是串接的零元，所以这样的串接定义的都是空语言。

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