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河间市，古称河涧、瀛州，河北省辖县级市，由沧州市代管，东与沧县、青县接壤，北与大城县、任丘市交界，西与肃宁县、高阳县相邻，南与献县相连。属于湖积冲积平原，地势自西南向东北逐渐降低，典型大陆性季风气候，受季风影响，四季分明。截至2015年底，辖20个乡镇，615个行政村 [1]  ，总面积1333平方公里 [33]  ，总人口88.2万人。1990年10月撤县设市。 [2-3] 

河间市地处华北平原，盛产多种粮棉瓜果，尤以金丝小枣、天津鸭梨等著名。工业产品种类很多，化工、纺织、电缆均较突出，形成了以电线电缆、保温材料、汽车配件、建材、花卉、餐具为主的六大支柱产业。

2016年，河间市完成地区生产总值287.2亿元，增长8.2%。 [4]  2019年12月，成为全国乡村治理体系建设试点单位。2020年9月，入选河北省食品产业强县（市、区）（培育型）名单。

并非所有语言都能用自动机描述

尽管我们看到很多语言可以用自动机或正则表达式描述，但还是存在不能这样描述的语言。直觉就是“自动机不会数数”。也就是说，如果为具有n个状态的自动机提供一列n个相同符号，它肯定会进入同一状态两次，这样它就不能确切记住已经看到了多少符号。因此，比方说自动机不可能识别所有只由平衡圆括号组成的字符串。因为正则表达式和自动机定义了相同的语言，所以同样不会有语言刚好全是平衡圆括号字符串的正则表达式。我们将在10.9节中讨论哪些语言是不可以用自动机定义的。

在本节中，我们要完成以下任务，说明如何把正则表达式转换成自动机。

1. 引入具有ε 转换的自动机，也就是，具有标号为ε 的弧的自动机。这些弧用在路径中，但不会对路径的标号产生任何影响。这种形式的自动机是正则表达式与本章先前讨论过的自动机之间的中间体。

2. 展示如何把任意正则表达式转换成定义同一语言的具有ε 转换的自动机。

3. 展示如何把任意具有ε 转换的自动机转换成接受同一语言的不含ε 转换的自动机。

10.8.1　具有 ε 转换的自动机

首先要将自动机的概念扩展到允许为弧标记ε。这样的自动机仍然是当且仅当从起始状态到接受状态存在标记为s 的路径时才接受字符串s。不过请注意，空字符串ε 在字符串中是“不可见的”，因此在为路径构建标号时，我们其实删除了所有的ε，并且只使用“真实”的字符。

示例 10.24

考虑如图10-26所示的具有ε 转换的自动机。在这里，状态0是起始状态，而状态3是唯一的接受状态。从状态0到状态3的一条路径为

0，4，5，6，7，8，7，8，9，3

这些弧的标号就构成了序列

ε b ε ε c ε c ε ε

只要记得ε 与任意其他字符串串接得到的都是那个其他字符串，就可以“丢掉”这些ε得到字符串bcc，这就是正在考虑的路径的标号。

图 10-26　表示a|bc*的具有ε转换的自动机

大家可能会发现，从状态0到状态3的路径的标记只会是a、b、bc、bcc、bccc，等等。表示该集合的正则表达式是a | bc*，而且我们会看到图10-26中的自动机可以自然地由这一正则表达式构建而来。

10.8.2　从正则表达式到具有ε 转换的自动机

我们可以利用根据对正则表达式中运算符数量进行完全归纳得出的算法，把正则表达式转换成自动机。这一思路类似于我们在5.5节中介绍过的对树的结构归纳，而且如果用正则表达式的表达式树（其中原子操作数是树叶，而运算符在中间节点位置）来表示它们，这种对应就会变得更加明朗。要证明的命题如下。

命题S(n)。如果R 是含n 个运算符，而且不含变量作为原子操作数的正则表达式，那么存在具有ε 转换的自动机A，只接受L(R )中的字符串。此外，A 满足如下所有条件：

1. 只有一个接受状态；

2. 没有弧通向它的起始状态；

3. 没有弧从它的接受状态出发。

依据。如果n=0，那么R 一定是一个原子操作数，它可能是∅、ε，或是对应某个符号x的x。在这3种情况下，可以设计满足命题S(0)要求的双状态的自动机，这些自动机如图10-27所示。

图 10-27　依据情况中的自动机

请务必理解，这里为正则表达式中出现的每个操作数创建了新的自动机，而且所具有的状态与其他任何自动机的状态都不一样。例如，如果在表达式中出现3个a，我们就会创建3个不同的自动机，总共有6个状态，每个自动机都与图10-27c所示的自动机类似，只不过用a替代了其中的x。

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