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河间市，古称河涧、瀛州，河北省辖县级市，由沧州市代管，东与沧县、青县接壤，北与大城县、任丘市交界，西与肃宁县、高阳县相邻，南与献县相连。属于湖积冲积平原，地势自西南向东北逐渐降低，典型大陆性季风气候，受季风影响，四季分明。截至2015年底，辖20个乡镇，615个行政村 [1]  ，总面积1333平方公里 [33]  ，总人口88.2万人。1990年10月撤县设市。 [2-3] 

河间市地处华北平原，盛产多种粮棉瓜果，尤以金丝小枣、天津鸭梨等著名。工业产品种类很多，化工、纺织、电缆均较突出，形成了以电线电缆、保温材料、汽车配件、建材、花卉、餐具为主的六大支柱产业。

2016年，河间市完成地区生产总值287.2亿元，增长8.2%。 [4]  2019年12月，成为全国乡村治理体系建设试点单位。2020年9月，入选河北省食品产业强县（市、区）（培育型）名单。

等价的证明

在本节中，我们要证明若干涉及正则表达式的等价关系。回想一下，两个正则表达式的等价是说，不管为其变量替换怎样的语言，这两个表达式的语言都是相等的。因此我们可以通过证明两种语言，也就是两个字符串集合的相等性，来证明正则表达式的等价。一般而言，要通过证明两个方向上的包含关系来证明集合S1和集合S2是等价的。也就是说，证明S1⊆S2，还要证明S2⊆S1。两个方向对证明集合相等都是必要的。

10.7.1　取并和串接与加法和乘法的类比

在本节中，我们要列举与正则表达式的取并、串接和闭包运算符有关的最重要的那些等价关系。首先要从取并和串接运算与加法和乘法运算的类比开始。正如我们将要看到，这种类比并不是很精确，主要因为串接是不具备交换性的，而乘法当然是具备交换性的。不过，这两对运算之间还是存在诸多相似性。

首先，取并和串接都具有单位元。取并运算的单位元是∅，而串接运算的单位元是ε。

(1) 取并的单位元。(∅|R )≡(R |∅)≡R。

(2) 串接的单位元。εR ≡Rε ≡R。

从空集和取并的定义中应该不难看出(1)成立的原因。要知道(2)成立的原因，如果字符串x 在L(εR )中，那么x 就是L(ε )中某个字符串与L(R )中某个字符串r 的串接。不过L(ε )中唯一的字符串就是ε 本身，因此可知x=εr。不过，空字符串与任意字符串r 串接的结果都是r 本身，所以x=r。也就是说x 在L(R )中。同样可以看到，如果x 在L(Rε )中，那么x 也在L(R )中。

要证明等价对(2)，不仅要证明L(εR )和L(Rε )中的每个字符串都在L(R )中，而且要证明反向的命题，也就是L(R )中的每个字符串都在L(εR )和L(Rε )中。如果r 在L(R )中，那么εr 就在L(εR )中。不过εr=r，所以r 在L(εR )中。同样的推理告诉我们r 也在L(Rε )中。因此就证明了L(R )和L(εR )是相同的语言，而且L(R )和L(Rε )是相同的语言，这就是(2)中的等价关系。

因此∅与算术中的0是类似的，而ε 则与1是类似的。还存在另一种类比，∅是串接的零元（annihilator），也就是

(3) 串接的零元。∅R≡R∅≡∅。换句话说，当将空集与任何内容串接时，得到的都是空集。类似地，0是乘法运算的零元，因为0×x=x×0＝0。

可以通过以下方式验证(3)的真实性。为了让某个字符串x出现在L(∅R )中，就要用L(∅)中的字符串串接L(R )中的字符串。因为L(∅)中是不含字符串的，所以我们没办法形成x。类似的论证也可以证明L(R∅)也必定为空。

接下来的等价关系是我们在第7章中讨论过的并集运算的交换律和结合律。

(4) 取并的交换律。(R | S )≡(S | R )。

(5) 取并的结合律。((R | S ) | T )≡(R | (S | T ))。

正如我们提过的，串接也是有结合性的。也就是

(6) 串接的结合律。(((RS )T)≡(R (ST ))。

要知道(6)为何成立，先假设字符串x 在L((RS )T )中，那么x 就是由L(RS )中的某字符串y 和L(T )中某字符串t 串接而成。还有，y 一定是由L(R )中的某字符串r 和L(S )中的某字符串s 串接而成，因此有x=yt=rst。现在考虑L(R (ST ))。字符串st 一定在L(ST )中，因此rst，也就是x，是在L(R (ST ))中的。因此L((RS )T )中的每个字符串x 都一定也在L(R (ST ))中。相似的论证告诉我们L(R (ST ))中的每个字符串也一定在L((RS )T )中。因此这两种语言是相同的，所以等价关系(6)成立。

(7) 串接对取并的左分配律。(R (S |T ))≡(RS |RT )。

(8) 串接对取并的右分配律。((S |T )R )≡(SR |TR )。

我们看看(7)为什么成立，(8)成立的原因也是相似的，就留作习题吧。如果x 在L(R (S |T ))中，那么x=ry，其中r 在L(R )中，而且y 要么在L(S )中，要么在L(T )中，或者同在这两者中。如果y 在L(S )中，那么x 在L(RS )中，而如果y 在L(R )中，那么x 在L(RT )中。不管是哪种情况，x 都是在L(RS |RT )中。因此L(R (S |T ))中的每个字符串都在L(RS |RT )中。

我们还可以证明反向的命题，也就是说L(RS |RT )中的每个字符串都在L(R (S |T ))中。如果x 在前者中，那么x 要么在L(RS )中，要么在L(RT )中。假设x 在L(RS )中。那么x=rs，其中r 在L(R )中，s 在L(S )中。因此s 在L(S |T )中，所以x 在L(R (S |T ))中。同样，如果x 在L(RT )中，就可以证明x 一定在L(R (S |T ))中。现在我们就证明了两个方向上的包含，这样就证明了等价关系(7)。

10.7.2　取并和串接与加法和乘法的区别

取并运算与加法不尽相同的原因之一就是幂等律。也就是说，取并运算是幂等的，但加法不是。

(9) 取并的幂等律。(R |R )≡R。

串接也与乘法有重大差异，因为串接不具交换性，而实数或整数的乘法是满足交换律的。要知道RS 一般来说与SR 不等价的原因，可以举个简单例子，设R=a而且S=b，则有L(RS )={ab}，且L(RS )={ba}，而这两个集合是不同的。

10.7.3　涉及闭包的等价

还有其他一些与闭包运算符有关的实用等价关系。

(10) ∅*≡ε。大家可以验证该式的两边都表示语言{ε }。

(11) RR *≡R *R。请注意，该式两边都与10.6节扩展表示法中的R+是等价的。

(12) (RR *|ε )≡R *。也就是说，R+和空字符串取并是与R *等价的。

10.7.4　习题

1. 证明等价关系(8)，即串接对取并的右分配律是成立的。

2. 通过变量替换，可以从已经陈述的等价关系得出等价关系∅∅≡∅和εε ≡ε，其中要利用到哪些等价关系？

3. 证明等价关系(10)到(12)。

4. 证明：

(a) (R |R *)≡R *；

(b) (ε |R *)≡R *。

5. * 是否存在特定的正则表达式R 和S 满足“交换律”，也就是说，对这些特殊的表达式来说，满足RS=SR？如果不存在，请给出证明，如果存在，请给出示例。

6. * 正则表达式中不需要操作数∅，除非没有∅就找不到语言为空集的正则表达式。如果正则表达式中未出现∅，就说它是无∅的。通过对无∅正则表达式R 中出现的运算符个数进行归纳，证明L(R )不是空集。提示：10.8节中将会展示对正则表达式中出现的运算符的数量进行归纳证明的示例。

7. ** 通过对正则表达式R 中出现的运算符的数量进行归纳证明：R 要么与正则表达式∅等价，要么与某个无∅正则表达式等价。

10.8　从正则表达式到自动机

记得我们在10.2节中对自动机的初步讨论，其中看到了在确定自动机与利用了“状态”概念（用以区分程序中不同部分扮演的角色）的程序之间存在的紧密关系。然后我们说过，设计确定自动机往往是设计这类程序的一种好方法。不过我们还看到，确定自动机可能难于设计。在10.3节中看到，有时候设计非确定自动机要更简单，而且子集构造让我们可以把任意非确定自动机转换成等价的确定自动机。现在我们又知道了正则表达式，接下来会看到，写出正则表达式甚至比设计非确定自动机更简单。

而且很好的是，存在某种方式可以把任意正则表达式转换成非确定自动机，接着就可以使用子集构造将得到的非确定自动机转换成确定自动机。事实上，我们在10.9节中还会看到，也能把任意自动机转换成相应的正则表达式，其中正则表达式的语言刚好是自动机接受的字符串集合。因此自动机和正则表达式有着一模一样的语言描述能力。

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