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燕郊镇，隶属于河北省廊坊市三河市，地处三河市西部，东、东南、南与大厂回族自治县接壤，西濒潮白河、隔河与北京市通州区相望，西北、北与高楼镇为邻， [7]  区域面积108平方千米，截至2018年，户籍人口351483人。 [6] 

民国三十七年（1948年），属三河县四区。1958年，为红星公社。1983年，改为燕郊镇。 [7]  截至2020年6月，燕郊镇下辖55个行政村。 [8] 

2018年，燕郊镇有工业企业796个，其中规模以上77个，有营业面积超过50平方米以上的综合商店或超市396个。

3. * 用反证法证明习题2中的定理。

4. * 针对有关整数x 的命题“如果x3是奇数，那么x 是奇数”，重复习题2和习题3（不过在习题2的(a)小题中只讨论了两种情况）。

5. * 通过证明以下表达式等价于1（TRUE），证明它们是重言式。

(a) 

(b) 

6. * 通过对之前已经证明的法则（的实例）进行以相等换相等，证明法则12.26：情况分析。

7. * 将情况分析法则一般化为由k 个命题变量定义情况的情形，这些变量在所有2k个组合中可能为真或为假。那么验证k=2的情况的重言式是什么？对一般的k 来说呢？证明该重言式为何一定为真。

12.10　演绎

我们在12.6节到12.8节中看到了作为设计理论的逻辑，并在12.9节中看到了作为证明技巧的逻辑。现在，我们要看看逻辑的第三面：逻辑在演绎中的使用。演绎就是可以构成完整证明的一系列命题。学习过平面几何的话就应该对演绎证明很熟悉，在演绎证明中我们从某些前提（“给定条件”）开始，并经过一系列步骤证明结论，其中每一步都是由前一个步骤经过有限次数的推理（称为推理规则）得到的。我们在本节中会解释演绎证明的构成，并给出若干示例。

不巧的是，为重言式找到演绎证明是很难的。正如我们在12.7节中提过的，这是个“固有的难解”问题，是属于NP困难问题一类的。因此要找到演绎证明，要么靠运气，要么就要穷举查找。在12.11节中，我们会讨论分解证明，虽然在最坏情况下它和其他技巧一样也必须花上指数时间，但它看起来是对寻找证明方法的一种好的探索。

12.10.1　演绎证明的构成

演绎的应用

除了作为数学证明的根本组成，演绎证明或者说形式证明在计算机科学中也有很多用途。应用之一是自动证明定理（automated theORem proving）。存在一些这样的系统：通过搜索从前提行进到结论的步骤序列，从而确定定理的证明过程。有些系统会自行查找证明，而另一些则会与用户进行交互，接受提示并填补构成证明的步骤序列中存在的小间隙。有人认为，虽然要让这样的系统投入实际使用还有很长的路要走，但它们最终可以用于证明程序的正确性。

演绎证明的第二个用途是用在与推导计算相关的编程语言中。举个简单的例子，机器人在寻找通过迷宫的路径时，可以把可能的状态用通道中心位置的有限集表示出来。我们可以绘制一幅图，其中的节点表示这些位置，而弧u→v就意味着机器人可以从位置u直接前移到位置v，因为u 和v 表示的是邻接的通道。

还可以把这些位置想象成命题，其中u 代表“机器人可以到达位置u。”那么u→v 就不仅能被解释为一条弧，还可以解释为一种逻辑蕴涵，也就是说“如果机器人可以到达u，那么它可以到达v。”（请注意这里的“双关”，箭头符号既可以表示弧，也可以表示蕴涵。）我们很自然地要问：“机器人从位置a 可以到达哪些位置?”

如果取表达式a，以及所有对应邻接位置u 和v 的表达式u→v 作为前提，看看可以从这些前提证明哪些命题变量x，就可以把该问题用演绎的形式表示出来。在这种情况下，我们并非真正需要像演绎证明这般强大的工具，因为正如在9.7节中讨论过的，深度优先搜索就能完成任务。不过，还有很多相关的情形，使用图论方法不是很有效率，但问题可以用演绎的形式表示，并得到合理的解决方案。

假设给定了某些逻辑表达式E1、E2、…、Ek 作为前提，并希望得出形如另一个逻辑表达式E的结论。一般来说，结论和前提都不会是重言式，不过我们想要证明

( E1 AND E2 AND…AND Ek )→E　　　　　　(12.11)

是个重言式。也就是说，想要证明，如果前提E1、E2、…、Ek 为真，就能得到E 为真。

一种证明(12.11)的方式就是为其构造真值表，并检验其中各行是否都是1，这是验证重言式的例行检验。不过，出于如下两个原因，这样可能并不足够。

1. 正如上文提过的，如果表达式中存在太多的变量，重言式的检验就会变得非常棘手。

2. 更重要的是，尽管重言式的验证对命题逻辑来说能起效，但它不能检验更复杂逻辑系统（比如第14章中将要讨论的谓词逻辑）中的重言式。

通常可以通过给出演绎证明来证明(12.11)是重言式。演绎证明是若干行组成的序列，每一行要么是给定的前提，要么是由之前的一行或多行根据推理规则构造出来的。如果最后一行是E，就说这是从E1、E2、…、Ek 证明了E。

可以使用的推理规则有很多。唯一的要求就是，如果推理规则允许我们只要有表达式F1、F2、…、Fn 是证明中的行，就可以把表达式F 写为一行，就有

(F1 AND F2 AND … AND Fn)→F

一定是重言式。例如，

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