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发表日期： 2021-04-17 16:41:49 浏览次数：127

燕郊镇，隶属于河北省廊坊市三河市，地处三河市西部，东、东南、南与大厂回族自治县接壤，西濒潮白河、隔河与北京市通州区相望，西北、北与高楼镇为邻， [7] 区域面积108平方千米，截至2018年，户籍人口351483人。 [6]

民国三十七年（1948年），属三河县四区。1958年，为红星公社。1983年，改为燕郊镇。 [7] 截至2020年6月，燕郊镇下辖55个行政村。 [8]

2018年，燕郊镇有工业企业796个，其中规模以上77个，有营业面积超过50平方米以上的综合商店或超市396个。

(a) 任何重言式都可以用作证明中的一行，而不管前面的行是什么。这一规则成立的原因在于，如果F 是重言式，那么证明中0行的AND蕴涵了F。请注意，按照约定，0个表达式的AND是1，而当F 为重言式时，1→F 就是重言式。

(b) 肯定前件式假言推理（modus ponens）的规则是说，如果E 和E →F 是证明中的行，就可以把F 添加为证明的行。肯定前件式假言推理是由重言式(p AND (p→q))→q 得出的，这里是用表达式E 代替了p 并用F 代替了q。唯一的微妙之处在于，我们不需要E AND E →F 这样一行，而是需要单独的两行，一行是E，一行是E →F。

(d) 如果有E 和E ≡F 这两行，那么可以添加一行F。可以这样做的原因类似于肯定前件式假言推理，是因为E ≡F 蕴涵E →F。也就是说，(p AND (p≡q))→q 是重言式，而推理规则(d)是该重言式可替换出的实例。

无人喝彩的声音
我们常常需要理解为0个操作数应用运算符的极限情况，就像在推理规则(a)中所做的那样。我们断言，可以把0个表达式（或证明中的行）的AND当作具有真值1。这样的动机在于，除非F1、F2、…、Fn中有一个为假，否则F1 AND F2 AND…AND Fn为真。但是如果n=0，也就是一个F都没有，那么该表达式就不可能为假，因此很自然地将0个表达式的AND取为1。
我们要作出这样一个约定，只要对0个操作数应用运算符，得到的结果就应该是该运算符的单位元。因为可以预见0个表达式的OR是0，因为只要其中有一个表达式为真，多个表达式的OR就为真。同样，0个数字之和被取为0，而0个数字之积则被取为1。

示例 12.26

假设我们具有如下命题变量，具有表中所示的直觉含义。

r	“天在下雨。”
u	“乔伊带着伞。”
w	“乔伊被淋湿了。”

给定以下前提

r→u	“天在下雨，乔伊就会带着伞。”
u→w	“乔伊带着伞，所以他没被淋湿。”
r→w	“如果没下雨，乔伊是不会被淋湿的。”

现在要求证明 $\overline{w}$ ，也就是，乔伊绝不会被淋湿。从某种意义上讲，这个问题不值一提，因为大家可以验证

((r→u)AND( $u\to \overline{w}$ )AND( $\overline{r}\to \overline{w}$ ))→ $\overline{w}$

是个重言式。不过，还是可以利用12.8节介绍的一些代数法则，以及刚刚讨论过的一些推理规则，从前提证明 $\overline{w}$ 。如果要处理形式比命题逻辑更为复杂的逻辑，或者是要处理涉及很多变量的逻辑表达式，就需要采取这种证明方式。图12-24展示了一种可能的证明方式，以及每个步骤进行下去的依据。

这种证明的大概思路是，利用情况分析，考虑天在下雨及没下雨这两种情况。根据第(5)行我们就证明了，如果天在下雨，那么乔伊不会被淋湿，而根据第(6)行，由给定的前提，说明如果没下雨，乔伊就不会被淋湿。第(7)到第(9)行结合了这两种情况，以得到我们想要的结论。

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图 12-24　演绎证明的示例

12.10.2　演绎证明“起作用”的原因

回想一下，演绎证明首先有前提E1、E2、…、Ek并要添加额外的行（也就是表达式），这些行都蕴涵自E1 AND E2 AND…AND Ek 。我们所添加的每一行都蕴涵自之前的0条或更多行，或者是某一行前提。我们可以通过对目前为止已经添加的行的数目进行归纳，来证明 E1 AND E2 AND… AND Ek 蕴涵了证明过程中的每一行。要完成这一任务，需要两个涉及语言的重言式族。第一个重言式族是从→的传递性一般化而来的。对任何n，有：

((p→q1)AND(p→q2)AND…AND(p→qn)AND((q1q2…qn)→r))→(p-r )　　　　　　(12.12)

也就是说，如果p 蕴涵了各个qi，而且qi 一起蕴涵r，那么有p 蕴涵r。

我们可以通过以下推理得出(12.12)是重言式。(12.12)为假的唯一可能就是p →r 为假，而且左边那一串为真。不过p →r 只能在p 为真且r 为假时为假，所以我们要假设p 和 $\overline{r}$ 为真。然后必须证明(12.12)的左边为假。

如果(12.12)的左边为真，那么其中由AND连接的各个子表达式都为真。例如，p→q1为真。因为我们假设p 为真，那么要让p→q1为真，就只可能是q1为真。同样，可以得出结论：q2、…、qn都为真。因此q1q2…qn→r 一定为假，因为我们假设r 为假，而且刚刚发现所有的qi 都为真。

首先假设(12.12)为假，因此得到右边一定为真，所以p 和 $\overline{r}$ 都为真。然后可以得出，当p 为真且r 为假时，(12.12)的左边为假。但如果(12.12)的左边为假，则(12.12)本身为真，这样就得出了矛盾。因此(12.12)绝不可能为假，所以它是重言式。

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示例 12.26

12.10.2 演绎证明“起作用”的原因

12.10.2　演绎证明“起作用”的原因