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赵县，隶属于河北省石家庄市，古称赵州，地处石家庄市区东南40公里，总面积为675平方公里，总人口61.3万（2017年），辖11个乡镇、281个行政村。县府驻赵州镇。汉为平棘县，晋为赵国，北魏置赵郡，曾为赵州治，隋改为赵州。1913年改为赵县。赵县历史悠久，文物众多，共有文物保护单位21处。

县境位于河北平原，光热充足，地下水丰富，利于井灌，又有石津渠灌溉之利，一年四季分明，春秋两季时间短，夏冬两季时间长。东部为沙质褐土，适于雪花梨生长。赵县农业发达，玉米、小麦是主要粮食产品。特产雪花梨俗称象牙梨，个大，皮薄、汁多、含糖分高，成熟后洁白如雪，故名，是河北省大宗出口的优质水果之一。

2018年12月27日，经河北省人民政府研究，同意灵寿县、赵县、阳原县县城为河北省园林县城。 [1]  2019年3月，被列为第一批革命文物保护利用片区分县名单。

9.6.2　深度优先搜索树弧的分类

当我们为图G 构建深度优先搜索树时，可以把G 中的弧分为4组。应该不难理解，这种分类是就某棵特定的深度搜索树而言的，或者说，是针对各邻接表中节点的某种特定次序（形成对G 的一次特定探索）而言的。这4类弧分别如下。

1. 树向弧，满足dfs(v)被dfs(u)调用的弧u→v。

2. 前向弧（forward arc），满足v 是u 的真子孙但又不是u 的子节点的弧u→v。例如，在图9-29中，弧a→b 就是唯一的前向弧。树向弧都不是前向弧。

3. 后向弧（backward arc），满足v 是u 在该树中的祖先（u=v 也是可以的）的弧u→v。图9-29中，弧c→b 是唯一的后向弧。任何自环，也就是节点到其自身的弧都被分类为后向弧。

4. 横向弧（cross arc），满足v 既不是u 的祖先也不是其子孙的弧u→v。图9-29中有3条这样的弧：d→c、e→c 和f→c。

在图9-29中，每条横向弧都是从右至左的。这种情况并非巧合。假设在某深度优先搜索树中有一条横向弧u→v 满足u 在v 的左侧。考虑一下在调用dfs(u)期间会发生什么。到完成对dfs(u)的调用之时，我们应该已经考虑过从u 到v 的弧了。如果v 尚未被放置到树中，那么它就会成为u 在该树中的子节点。因为这种情况显然不会发生（这样v就不会在u 的右侧了），所以在考虑弧u→v 时，v 肯定已经在该树中了。

图 9-30　在考虑弧 u→v 时构建的树的一部分

不过，图9-30展示了当dfs(u)处于活动状态时存在的树的一部分。因为子节点会按照从左至右的次序添加进来，所以迄今为止节点u 的真祖先没有子节点在u 的右侧。因此，v 只可能是u 的祖先，u 的子孙，或者是在u 左侧的某个位置。因此，如果u→v 是横向弧，v 就一定是在u 的左侧，而不可能像我们最初假设的那样在u 的右侧。

9.6.3　深度优先搜索森林

在示例9.19中，我们特别幸运，从节点a 开始，就能够到达图9-26所示图的全部节点。但假设我们从其他节点开始，就可能没法到达a，a 就不会出现在深度优先树中。因此，探索图的一般方式是构建一系列的树。我们从某个节点u 开始并调用dfs(u)。如果还有节点未被访问过，就再选择一个节点，比方说是v，并调用dfs(v)。只要还有节点未被分配到任一树中，就继续重复该过程。

在所有节点都被分配到一棵树中后，我们就按照构建这些树的先后次序，把构建出的树从左到右列出来。这一列树就叫作深度优先搜索森林（depth-firstsearchforest）。利用之前定义的NODE和GRAPH数据类型，可以通过图9-31所示的函数，从所需的那么多根节点开始搜索，对完全从外部定义的图G 进行探索。这里我们假设NODE类型为int类型，而且MAX 是G 中的节点数。

     void dfsForest(GRAPH G);
     {
         NODE u;(1)      for (u = 0; u < MAX; u++)(2)          G[u].mark = UNVISITED;(3)      for (u = 0; u < MAX; u++)(4)          if (G[u].mark == UNVISITED)(5)              dfs(u, G);
     }复制代码

图 9-31　通过探索所需的那么多树对图进行探索

在第(1)行和第(2)行中，我们会把所有节点初始化为UNVISITED。然后，在第(3)行到第(5)行的循环中，要依次考虑各节点u。在考虑u 时，如果该节点尚未被添加到任何树中，那么在进行第(4)行的测试时它仍然会被标记为未被访问过。在这样的情况下，我们就会在第(5)行调用dfs(u,G)，并探索以u 为根节点的深度优先搜索树。特别要说的是，第一个节点总是会成为树的根节点。不过，如果在执行第(4)行的测试时u 已经被添加到树中，那么u 就会被标记为VISITED，因此不会创建以u 为根节点的树。

示例 9.20

假设将上述算法应用到图9-26所示的图上，但是设d 是名称为0的节点，也就是说，d 是该深度搜索生成森林中树的第一个根节点。调用dfs(d)，这会构建图9-32中的第一棵树。现在除了a 之外的所有节点都已经被访问过。当u 在图9-31第(3)行到第(5)行的循环中成为各节点时，除了u=a 时之外第(4)行的测试都会失败。然后，我们会创建如图9-32所示的单节点第二棵树。请注意，在调用dfs(a)时，a 的两个后继都带有VISITED标记，因此我们不再从dfs(a)进行任何递归调用。

图 9-32　深度优先搜索森林

当把图中的节点表示为深度优先搜索森林时，前向弧、后向弧与树向弧的概念还像之前那样。不过，横向弧的概念必须扩展到包含那些从一棵树到其左侧的树的弧。这种横向弧的例子包括图9-32中的a→b 和a→d。

横向弧总是从右至左的这一规则继续成立。原因还是一样的。如果存在从一棵树到其右侧树的横向弧u→v，那么考虑一下当调用dfs(u)时会发生什么。因为v没有被添加到当时正在形成的树中，所以它肯定已经在某棵树中。但是u 右侧的树尚未创建，因此v 不可能是这些树的一部分。

尽善尽美的深度优先搜索

无论节点数和弧数之间存在什么的关系，对图的深度优先探索需要的时间是与图的“大小”（也就是节点数与弧数之和）成正比的。因此，深度优先搜索与其他任意“查看”图的算法在速度上只有常数因子的差异。

9.6.4　深度优先搜索算法的运行时间

设G 是有n 个节点的图，并设m 是节点数与弧数之间的较大者。图9-31所示的dfsForest就要花O(m)的时间。这一事实的证明需要一点小花招。在计算对dfs(u)的调用所花的时间时，我们不会将图9-27第(6)行中对dfs的递归调用所花的时间计算在内，就像3.9节中所建议的那样。不过，不难看出要为每个u 值调用dfu(u)一次。因此，如果将每次调用的开销加起来，除掉其递归调用，就能得到将所有调用视作一个整体所花的总时间。

请注意，除掉在对dfs的递归调用中所花的时间，图9-27中第(3)行到第(7)行的while循环所花的时间是可以变化的，因为节点u 的后继数量可能是从0到n 的任一数字。假如设mu 是节点u 的出度，也就是u 的后继的数量。那么在执行dfs(u)期间进行该循环的次数就肯定是mu。在评估dfs(u)的运行时间时，并不会把第(6)行执行dfs(v,G)的时间计算在内，而除该调用之外，整个循环体只要花O(1)的时间。因此，除去在递归调用上花的时间，第(3)行到第(7)行的循环花的总时间就是O(1+mu)，这个附加的1是必要的，因为mu 可能为0，在这种情况下我们仍然需要为第(3)行的测试花上O(1)的时间。因为第(1)行和第(2)行的dfs要花O(1)的时间，所以可以得出结论，忽略递归调用，dfs(u)要花O(1+mu )的时间完成调用。

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