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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

使用节点4作为枢纽不能改善任何距离。当节点5作为枢纽时，我们可以改善节点0和节点3之间的距离，因为在图9-56中有

dist[0][5] + dist[5][3] = 40复制代码

这要小于dist[0][3]的值48。就具体的城市而言，这就相当于发现，从拉耶出发经过瓦西阿瓦到珍珠城，要比经过卡内奥赫和檀香山到珍珠城更近。同样，可以把节点0和节点4之间的距离从68改善到43。最终的dist矩阵如图9-57所示。

图 9-57　最终的dist矩阵

9.9.1　弗洛伊德算法为何奏效

正如我们所见，在弗洛伊德算法的任何阶段，从节点v 到节点w 的距离都将是只由做过枢纽的节点组成的路径中最短路径的距离。最终，所有的节点都成为过枢纽，而且dist[v][w]存放着所有可能路径的最小距离。

我们可以将从节点v 到节点w 的k 路径定义为满足从v 到w 的中间节点编号不大于k 的路径。请注意，并不需要限制v 或w 一定是k 或更小。

k=-1的情况是个重要特例。因为假设节点的编号是从0开始的，所以(-1)路径是没有中间节点的。它只可能是一条弧，或是作为0长度路径起止点的一个节点。

图9-58展示了k 路径的样子，不过端点v 和w 既可以在k 之上，也可以在k 以下。在该图中，线的高度表示了从v 到w 的路径上各节点的编号。

图 9-58　除了端点（可能高于k）外，k 路径上的节点不会高于k

示例 9.28

在图9-10中，路径0、1、2、3是一条2路径。中间节点1和2都不大于2。这一路径也是3路径，4路径和5路径。但它不是1路径，因为中间节点2大于1。同样，它也不是0路径或(-1)路径。

因为假设节点的编号是从0到n-1，所以(-1)路径不可能有中间节点，因此它一定是一条弧或一个节点。而n-1路径则可以是任意路径，因为在节点编号为0到n-1的图中，任何路径中间节点的编号都不会大于n-1。这里将通过对k 的归纳证明该命题。

命题S(k )。如果弧的标号都是非负的，那么在图9-50第(4)行到第(8)行的循环将u 置为k+1之前，dist[v][w]是从v 到w 的最短k 路径的长度，如果没有这样的路径，其长度就是INFTY。

依据。依据是k=-1。我们在第一次执行该循环的循环体之前将u 置为0。在第(1)行到第(3)行中我们已经把dist初始化为arc。因为由一个节点构成的弧和路径只有(-1)路径，所以依据成立。

归纳。假设S(k )成立，考虑u=k+1时循环迭代期间dist[v][w]发生的情况。假设P 是从v 到w 的最短k+1路径。有两种情况，具体取决于P 是否经过k+1号节点。

1. 如果P 是k 路径，也就是说P 其实没有经过k+1号节点，那么根据归纳假设，在经过k 次迭代之后dist[v][w]已经等于P 的长度。因为没有更短的(k+1)路径，所以我们在以k+1号节点为枢纽的这轮处理中不能改变dist[v][w]。

2. 如果P 是k+1路径，我们可以假设P 只经过节点k+1一次，因为环路永远都不可能减少距离。回想一下，我们要求所有标号都是非负的。因此，P 是由从v 到节点k+1的k 路径Q，后面跟上从节点k+1到w 的k 路径R 组成的，如图9-59所示。根据归纳假设，dist[v][k+1]和dist[k+1][w]分别是在第k 次迭代之后路径Q 和R 的长度。

图 9-59　(k+1)路径可以分为两条k 路径，Q 后面跟上R

首先要看到dist[v][k+1]和dist[k+1][w]在第k+1次迭代中不可能改变。原因在于所有的标号都是非负的，这样所有路径的长度都是非负的，因此图9-50中第(7)行的测试在u（即节点k+1）是v 或w 其中之一时一定会失败。

所以，当我们以u=k+1对任意的v 和w 应用第(7)行的测试时，自从第k 次迭代结束之后dist[v][k+1]和dist[k+1][w]的值就不再改变。也就是说，第(7)行的测试会对最短k 路径的长度及从v 到k+1和k+1到w 的最短k 路径长度之和进行比较。在第(1)种情况下，路径P 不经过k+1，前者更短，而在情况(2)中，P 经过k+1，后者是图9-59中路径Q 和路径R 长度之和，因此要更短。

可以得出结论：第k+1次迭代会把dist[v][w]置为对所有的节点v 和w 而言最短k+1路径的长度。这就是命题S(k+1)，所以我们得出了归纳的结论。

要完成证明，设k=n-1。也就是说，我们知道在完成全部n 次迭代后，dist[v][w]是任意从v 到w 的n-1路径的最短距离，这样就证明了dist[v][w]是从v 到w 的任意路径中最小的距离。

9.9.2　习题

1. 假设图9-5（见9.2节习题）中所有的弧标号都为1，使用弗洛伊德算法得出各节点对间最短路径的长度。给出以每个节点作为枢纽后的距离矩阵。

2. 对图9-5中的图应用沃夏尔算法，计算其自反闭包和传递闭包。给出以每个节点作为枢纽后的可达性矩阵。

3. 使用弗洛伊德算法为图9-21（见9.4节习题）中的图找到各城市对之间的最短距离。

4. 使用弗洛伊德算法为图9-48（见9.8节习题）中的各灵长类物种找出它们之间可能间隔的最短时间。

5. 有时我们想只考虑有一条或多条弧的路径，而将单个节点排除在弧的范畴之外。如何修改arc矩阵的初始化部分，使得在查找从节点到其自身的最短路径时只考虑长度为1或1以上的路径？

6. * 找出图9-10中所有的无环2路径。

7. * 为什么当弧上的正负开销都存在时弗洛伊德算法就不起作用了？

8. ** 给出能找到两个给定节点间最长无环路径的算法。

9. ** 假设对图G 运行弗洛伊德算法。然后，我们将弧u→v 的标号降为0，以构建新图G'。当对图G 和图G' 应用弗洛伊德算法时，怎样的节点s 和t 组成的节点对会使每一轮处理中对应的两个dist[s][t]都相同？

9.10　图论简介

图论是专门研究图属性的数学分支。在之前的几节中，我们已经展示了图论的基本定义，以及计算机科学家开发的一些可以高效计算图关键属性的基础算法。我们已经看到计算最短路径、生成树和深度优先搜索树的算法。本节要介绍图论中一些更重要的概念。

9.10.1　完全图

每一对不同的节点之间都存在边的无向图就叫作完全图。含n个节点的完全图就叫作Kn。图9-60展示了从K1到K4的完全图。

图 9-60　前4个完全图

Kn中的边数是n(n-1)/2，或者说是。想知道原因，可以考虑Kn 的边{u，v }。可以选择n 个节点中的任意一个作为u，并从其余n-1个节点中任选一个作为v，因此总的选择数为n(n-1)。不过，这样一来每条边都数了两次，一次是{u，v }，第二次是{v，u }，所以必须在总选择数上除以2，以得出正确的边数。

也存在完全有向图的定义。这种图具有从每个节点到每个其他节点（包括其自身）的弧。n个节点的完全有向图有n2条弧。图9-61展示了含3个节点和9条弧的完全有向图。

图 9-61　含3个节点的完全有向图

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