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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

9.10.2　平面图

如果可以将无向图的所有节点都放在一个屏幕上，而且可以将它的边画为连续的线而没有边交叉，就说该无向图是平面图。

示例 9.29

图9-60中的K4在画出来时有两条相交的对角边。不过，K4是平面图，正如我们看到的图9-62中这种画法一样。在图9-62中，通过重新把一条对角边画在外面，就避免了两条边相交的情况出现。可以说图9-62是图K4的平面表示，而图9-60则是图K4的非平面表示。请注意，在平面表示中边可以不是直线。

图 9-62　K4的平面表示

在图9-63中看到两种最简单的非平面图，也就是没有任何平面表示的图。一个是K5，有5个节点的完全图。而另一个是K3,3，它的形成方式是，取两组3个节点，并用一组的各个节点与另一组的各个节点连接，但不连接同组中的节点。读者应该试着重画这两种图，看看有没有办法使得任意两条边都不会交叉，以感受一下它们为什么不是平面图。

图 9-63　两种最简单的非平面图

库拉托斯基定理说过，任何非平面图都至少含有这两种图中一种的“副本”。不过，我们在解释副本的概念时一定要小心一点，因为要在任意的非平面图G 中找到K5或K3,3的副本，可能必须要将图9-63所示的某些边与图G 中的路径关联起来。

9.10.3　平面性的应用

平面性在计算机科学中是举足轻重的。例如，很多图或相似的图表需要在计算机屏幕或纸上表现出来。为了清楚起见，是需要制出图的平面表示的，或者如果图不是平面图，就需要尽可能减少交叉边的数量。

读者可能会在第13章中看到我们画的一些相当复杂的电路图，它们其实就是以门和线路连接点为节点而且以线路为边的图。因为这些电路一般而言都不是平面的，所以必须制定一些约定，让线路可以在不连接的情况下交叉，而且用点来表示线路的连接。

相关的应用涉及集成电路的设计。集成电路，或者说“芯片”，把第13章中讨论过的那些逻辑电路都实物化了。它们不需要逻辑电路被刻画为平面表示，但存在相似的限制让我们可以为边指定若干“层”，通常是3或4层。在第一层上，表示电路的图必须有平面表示，边是不允许有交叉的。不过，不同层级上的边是可以交叉的。

9.10.4　图着色

为图G 着色的图着色问题就是给每个节点指定一种“颜色”，使得由边连通的两个节点不会被指定相同的颜色。然后我们可能要问以这种方式为图着色需要多少种不同的颜色。为图G 着色所需的最小颜色数量就叫作图G 的色数（chromaticnumber），通常表示为χ(G)。可以用不超过k 种颜色着色的图被称为可着k 色的。

示例 9.30

如果图是完全图，那么它的色数就等于节点的数量，也就是说χ(Kn)=n。要证明这一点很简单，因为任意两个节点u 和v 之间都是有边连通的，所以不可能为它们着上相同的颜色。因此，每个节点都要有其自己的颜色。对每个k≥n 而言，Kn 都是可着k 色的，不过如果k< n，则Kn 不是可着k 色的。请注意，可以说K4是可着5色的，即便没法为图K4的4个节点用上所有5种颜色。然而，严格地讲，只要图可以用k 种或更少的颜色着色，而不是说刚好可用k 种颜色着色，就可以说图是可着k 色的。

再举个例子，图9-63所示的图K3,3的色数为2。比方说可以把左边组中的节点全着上红色，而将右边那组中的节点全着上蓝色。那么所有的边都是在红色和蓝色节点间的。K3,3就是二分图（bipartitegraph）的例子，也就是可以用两种颜色着色的图。所有这样的图都可以把它们的节点分成两组，其中同一组的成员间是没有边连接的。

最后再举个例子，图9-64中6节点图的色数为4。要知道原因，可以注意到中心的节点不能与其他任何节点颜色相同，因为它与所有节点都是连通的。因此要为它单独使用一种颜色，比方说红色。我们还至少需要两种别的颜色来为环上的节点着色。不过，如果我们试着像图9-64中所做的那样交替着色，比方着上蓝色和绿色，就会遇到问题，第五个节点的邻居既有蓝色也有绿色，因此这个例子中就需要第四种颜色——黄色。

图 9-64　色数为4的图

9.10.5　图着色的应用

找出一种好的图着色方案是计算机科学中另一个热门问题。例如，在第1章的全书内容简介中，我们考虑过将课程分配到时间段中，从而使学生不可能选到同一时段上课的两门课程。这样做的动机是在安排期末考试时保证学生不可能在同一时间需要参加两科考试。我们可以画一幅节点是各门课程的图，其中如果有学生同时选修了某两门课程，在表示这两门课程的节点间就存在边。

这样一来，需要多少个时段来安排考试的问题就成了计算该图的色数是多少的问题。所有颜色相同的节点都可以被安排在同一时段，因为它们之间不存在边。反过来讲，如果有一套对任何学生来说都不会引起时间冲突的安排，那么就可以把所有可安排在同一时段的课程涂成相同的颜色，因此就生成了一种颜色数量与考期时段数相同的图着色方案。

在第1章中，我们试探过基于寻找最大独立集安排考试的方法。这对寻找为图着色的好方案来说也是一种合理的试探。大家可能会期待可以为小到像图1-1中5节点图那样的图尝试所有可能的颜色，其实这是可以的。不过，随着节点数的增加，图可能着色的种数是呈指数式增加的，而且，在找寻最少可能颜色的过程中，为那些非常大的图考虑所有可能的着色并不可行。

9.10.6　团

无向图G 的团（clique）是G 中满足每对节点之间都存在边的所有节点组成的集合。含k 个节点的团就叫作k 点团（k-clique）。图中最大团的大小就叫作该图的团数（clique number）。

示例 9.31

举个简单的例子，任意完全图Kn 都是由全部n 个节点组成的团。事实上，对所有的k≤n 来说，Kn 都有k 点团，但如果k>n，则没有k 点团。

图9-64中的图有大小为3的团，但没有更大的团了。这些3点团都是三角形的。因为没法再将其他节点纳入环中，所以该图中不可能有4点团。每个环节点都只连接到其他3个节点，所以4点团必定会包含环上的某个节点v、它在环上的邻居，以及中心节点。不过，v 在环上的邻居之间没有边，所以没有4点团。

举个团的应用的例子，假设不像图1-1那样表示课程的冲突，而是用两个节点之间的边表示这两门课程没有学生同时选择。如此，两门有边连接的课程可以在同一时间考试。然后我们可以查找极大团（maximal clique），即不是更大的团的子集的团，而且要为同时段课程的极大团

安排考试。

9.10.7　习题

1. 对图9-4中的图而言：

(a) 色数是多少？

(b) 团数是多少？

(c) 给出一个最大团的例子。

2. 如果将(a)图9-5；(b)图9-26中的图变成无向图，那么它们的色数各是多少？可将弧当作边。

3. 图9-5不是用平面方式表示的。该图是否为平面图？也就是说，能否重画该图，从而使该图中没有交叉的边？

4. * 与无向图相关的3个量分别是它的度（任意节点的最大邻居数）、它的色数和它的团数。推导这3个量之间一定成立的不等关系。并解释这些关系为何一定成立。

5. ** 设计算法，接受含n 个的节点而且节点数和边数较大者为m 的图，并在O(m)的时间内能分辨该图是否为二分图（可着2色的图）。

6. * 我们可以把图9-64中的图一般化为具有一个中心节点以及k 个在同一环上的节点，其中环上的每个节点都只与其在环上的邻居以及中心节点相连。给出该图的色数，用k 的函数表示。

7. * 对像在9.5节中讨论过的那样的无序无根树的色数有什么说法？

8. ** 设Ki,j 是取一组i 个节点以及另一组 j 个节点，并把一组中各个节点和另一组中的每个节点用边连接后形成的图。我们看到如果i=j=3，那么得到的图就不是平面图。那么对什么样的i 和 j 来说Ki,j 是平面图？

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