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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

示例 9.27

考虑一下9.3节图9-10中的图。使用0到5的数字表示节点，其中0表示拉耶，1表示卡内奥赫，等等。图9-51展示了arc矩阵，标号INFTY表示相应的节点对之间没有边连通。而arc矩阵也是dist矩阵的初始值。

沃夏尔算法

有时候，我们只对分辨两个节点间是否存在路径感兴趣，而不去管最小距离是多少。如果这样，就可以使用元素类型为BOOLEAN（即int）的邻接矩阵，其中TRUE（1）表示弧的存在，而FALSE（0）表示弧不存在。同样，dist矩阵的元素也是BOOLEAN类型的，其中TRUE表示问题中已知的节点间存在路径，而FALSE表示它们之间不存在路径。我们需要对弗洛伊德算法进行的唯一修改就是把图9-50中的第(7)行和第(8)行替换为

(7)  if (dist[v][w] == FALSE)(8)      dist[v][w] = dist[v][u] && dist[u][w];复制代码

如果dist[v][w]还不是TRUE，只要dist[v][u]和dist[u][w]都是TRUE，这两行代码就会把它置为TRUE。

得到的算法名为沃夏尔算法（Warshall's Algorithm），可以在O(n3)的时间内为含n 个节点的图计算自反闭包和传递闭包。这一算法从来都不会优于9.7节中利用了深度优先搜索的O(mn)时间的算法。不过，沃夏尔算法使用的是邻接矩阵而非邻接表，而且如果m 接近n2，它实际上会因为其简单性而比乘法的深度优先搜索更有效率。

请注意，图9-10中的图是无向图，所以矩阵是对称的，也就是说arc[v][w]=arc[w][v]。如果图是有向图，就可能不存在这种对称性，不过弗洛伊德算法并未利用到对称性，因此处理有向图或无向图都是可以的。

图 9-51　arc矩阵，它是dist矩阵的初始值

第一个枢纽是u=0。因为INFTY与任意值的和都是INFTY，所以唯一的节点对v 和w，两者都不为u。而且有dist[v][u]+dist[u][w]小于INFTY的节点对，就是v=1和w=5，反之亦然。12因为此时dist[1][5]是INFTY，我们就将dist[1][5]用dist[1][0]+dist[0][5]的和52替换掉。同样，要将dist[5][1]替换为52。其他距离都不能借助枢纽0得到改善，这样一来就得到如图9-52所示的dist矩阵。

12如果v 和w 中有一个为u，就很容易看出dist[v][w]永远不可能借助经过u 而得到改进。因此，在查找经过中枢w 能够改进距离的节点对时，可以忽略那些形如(v，u )或(u，w )的有序对。

图 9-52　在使用0作为枢纽后的dist矩阵

现在以节点1作为枢纽。在如图9-52所示的当前dist矩阵中，节点1分别存在到节点0（距离24）、节点2（距离11）和节点5（距离52）的非无限连接。我们可以将这些边组合起来，从而将节点0到节点2的距离从INFTY减少到24+11=35。还可以把节点2和节点5之间的距离减少到11+52=63。请注意，63是从檀香山到卡内奥赫，然后到拉耶，最后到瓦西阿瓦的路径的距离，不过这一最短路线只经过了目前已经成为过枢纽的节点。最终，我们会发现经过珍珠城的更短路线。当前的dist矩阵如图9-53所示。

图 9-53　在使用1作为枢纽后的dist矩阵

现在用2作为枢纽。节点2当前与节点0（距离35）、节点1（距离11）、节点3（距离13）和节点5（距离63）之间存在非无限连接。在这些节点中，节点0和节点3之间的距离可以改善为35+13＝48，而且节点1和节点3之间的距离可以改善为11+13＝24。因此，当前的dist矩阵如图9-54所示。

图 9-54　使用节点2作为枢纽后的dist矩阵

接下来，节点3成为枢纽。图9-55展示了节点3与其他各节点之间当前的最佳距离。13通过行经节点3，可以作出如下距离上的改善。

13读者应该将图9-55与图9-49加以比较。后者展示了如何在有向图的一般情况下使用枢纽节点，其中进出枢纽节点的弧可能有着不同标号。而图9-55则利用了示例图的对称性，让我们使用节点3与其他各节点之间的边来表示进入节点3的弧，就像图9-49左侧那样，以及从节点3出发的弧，就像图9-49右侧那样。

1. 节点1和节点5之间地距离被减小到36。

2. 节点2和节点5之间的距离被减小到25。

3. 节点0和节点4之间的距离被减小到68。

4. 节点1和节点4之间的距离被减小到44。

5. 节点2和节点4之间的距离被减小到33。

图 9-55　到节点3的当前最佳距离

当前的dist矩阵如图9-56所示。

图 9-56　使用节点3作为枢纽后的dist矩阵

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