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赵县，隶属于河北省石家庄市，古称赵州，地处石家庄市区东南40公里，总面积为675平方公里，总人口61.3万（2017年），辖11个乡镇、281个行政村。县府驻赵州镇。汉为平棘县，晋为赵国，北魏置赵郡，曾为赵州治，隋改为赵州。1913年改为赵县。赵县历史悠久，文物众多，共有文物保护单位21处。

县境位于河北平原，光热充足，地下水丰富，利于井灌，又有石津渠灌溉之利，一年四季分明，春秋两季时间短，夏冬两季时间长。东部为沙质褐土，适于雪花梨生长。赵县农业发达，玉米、小麦是主要粮食产品。特产雪花梨俗称象牙梨，个大，皮薄、汁多、含糖分高，成熟后洁白如雪，故名，是河北省大宗出口的优质水果之一。

2018年12月27日，经河北省人民政府研究，同意灵寿县、赵县、阳原县县城为河北省园林县城。 [1]  2019年3月，被列为第一批革命文物保护利用片区分县名单。

示例 9.3

给定环路(0，2，1，3，2，0)，可以删除第一个2以及它后面的1和3，这样就得到了简单环路(0，2，0)。从实际情况上讲，该环路是从0开始，到达2，然后是1，再是3，回到2，最后回到0。第一次到达2时，可以假装这是第二次到达2，跳过了1和3，然后直接回到0。

再举个例子，考虑非简单环路(0，0，0)。因为0出现了3次，所以可以删除第一个0，也就是删除倒数第二个0之前的所有内容。实际上我们是将绕着自环0→0行进两次的路径替换为绕行一次的路径。

如果图中含一条或多条环路，就说该图是有环的。如果不含环路，就说该图是无环的。而根据刚才有关简单环路的论证，当且仅当图中含有简单环路时，该图为有环图，因为如果该图有环路，那么它肯定有简单环路。

示例 9.4

我们在3.8节中提到过，可以用名为“调用图”的有向图表示由一系列函数执行的调用。图中的节点就是函数，而如果函数p 调用了函数Q，就有一条弧P→Q。例如，图9-3展示了与2.9节中的归并算法对应的调用图。

图 9-3　归并排序算法的调用图

调用图中出现的环路意味着算法中的递归。在图9-3中有4条简单环路，分别是围绕节点MakeList、MergeSort、split和merge的长度为1的环路。而且每条环路都是自环。回想一下，这些函数都调用了自己，因此都是递归的。到目前为止，函数调用自己的递归是最常见的类型，而且这些递归在调用图中都是以自环的形式出现的。我们将这种递归称为直接递归。不过，大家偶然会看到间接递归，也就是调用图中环路长度大于1的递归。例如，下图就表示函数P 调用了函数Q，而函数Q 调用了函数R，函数R 回过头来又调用了函数P。

9.2.5　无环路径

如果路径中没有节点出现一次以上，就说该路径是无环的。我们刚才在证明对每条环路而言都存在一条简单环路时给出的论证也说明了以下原则。如果存在从u 到v 的路径，就存在从u 到v 的无环路径。要知道原因，首先看看从u 到v 的任意路径。如果存在某个节点w（它可能是u 或v）出现了两次，就可以将两个w 以及这两个w 之间的所有内容用一个w 替代。就像环路的情况那样，我们可能不得不多次重复该过程，但最终会将该路径简化为无环路径。

示例 9.5

再次考虑图9-1中的图。路径(0，1，3，2，1，3，4)是从0到4的包含了环路的路径。我们可以将注意力放在两个节点1上，并将它们及其之间的3和2替换为1，留下(0，1，3，4)，这是条无环路径，因为没有节点出现了两次。将注意力放在两个节点3上也可以得到同样结果。

9.2.6　无向图

有时候也可以用没有方向的线条（称为边）连接节点。正式地讲，边是两个节点组成的集合。边{u，v }表示节点u 和v 是双向连通的。1如果{u，v }是边，那么节点u 和v 就是邻接的或者说是邻居。带有边的图，也就是有着对称弧关系的图，就称为无向图。

1请注意，边必须刚好有两个节点。由一个节点构成的单一集不是边。因此，虽然从一个节点到其自身的边是可以存在的，但从一个节点到其自身的自环边是不能存在的。不过某些“无向图”的定义也允许这种自环存在。

示例 9.6

图9-4表示了夏威夷群岛的部分公路图。城市之间的公路就是用边表示的，而且边的标号表示的是行车距离。将公路表示为边而不是弧是很自然的，因为公路通常是双向的。

图 9-4　表示夏威夷群岛中瓦胡岛、毛伊岛和夏威夷岛（左起顺时针排列）上的公路的无向图

9.2.7　无向图中的路径和环路

无向图的路径是各节点与下一节点间都由边连通的节点列(v1,v2,…,vk)。也就是说，对i=1，2，…，k-1而言，{vi，vi+1}是边。请注意，边作为集合，其中的元素是没有特定次序的。因此，边{vi，vi+1}也可以表示为{vi+1，vi }。

路径(vi，v2，…，vk)的长度是k-1。就像有向图那样，节点本身是一条长度为0的路径。

在无向图中定义环路是有点棘手的。问题在于，我们不希望将诸如(u，v，u)这样只要存在边{u，v}就存在的路径视作环路。同样，如果(vi，v2，…，vk)是条路径，我们可以来回穿越该路径，但肯定不想把如下路径视为环路。

(v1，v2，…，vk-1，vk，vk-1，…，v2，v1)

在无向图中定义简单环路的最简单方式可能是指长度不小于3而且起点和终点为同一节点，而且预期最后的节点不会与任何节点重复的路径。而无向图中非简单环路的概念通常不怎么使用，所以后面就不继续讲这个概念了。

和有向环路一样，如果两条无向环路是由次序相同的相同节点构成，就可以将它们视作相同环路。如果两条无向环路是由次序相反的相同节点构成，那么它们也是相同的环路。正式地讲，对从1到k 的每个i，简单环路(v1，v2，…，vk)与环路(vi，vi+1，…，vk，v1，v2，…，vi-1)及环路(vi，vi-1，…，v1，vk，vk-1，…，vi+1)都是等价的。

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