赵县网站建设【赵县网络公司】赵县做网站、赵县微信公众号开发、赵县网站设计、赵县小程序制作

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赵县，隶属于河北省石家庄市，古称赵州，地处石家庄市区东南40公里，总面积为675平方公里，总人口61.3万（2017年），辖11个乡镇、281个行政村。县府驻赵州镇。汉为平棘县，晋为赵国，北魏置赵郡，曾为赵州治，隋改为赵州。1913年改为赵县。赵县历史悠久，文物众多，共有文物保护单位21处。

县境位于河北平原，光热充足，地下水丰富，利于井灌，又有石津渠灌溉之利，一年四季分明，春秋两季时间短，夏冬两季时间长。东部为沙质褐土，适于雪花梨生长。赵县农业发达，玉米、小麦是主要粮食产品。特产雪花梨俗称象牙梨，个大，皮薄、汁多、含糖分高，成熟后洁白如雪，故名，是河北省大宗出口的优质水果之一。

2018年12月27日，经河北省人民政府研究，同意灵寿县、赵县、阳原县县城为河北省园林县城。 [1]  2019年3月，被列为第一批革命文物保护利用片区分县名单。

从某种意义上讲，图就是二元关系。不过，它利用一系列由线（称为边）或箭头（称为弧）连接的点（称为节点）提供了强大的视觉效果。在这方面，图就是我们在第5章中研究过的树数据模型的泛化。和树一样，图也有多种形式：有向图/无向图，以及标号图/无标号图。

图还和树一样可以解决大范围的问题，比如距离的计算、关系中环的查找，以及连通性的确定。我们在第2章中已经见识过用图来表示程序的结构。而第7章也用到图来表示二元关系，并用图展示了关系的某些属性，比如交换律。在第10章中将看到用图表示自动机，而在第13章中会看到用图表示电路。而图除上述这些之外的若干重要应用将在本章中讨论。

9.1　本章主要内容

本章的主要内容包括以下这些。

• 与有向图和无向图有关的定义（9.2节和9.10节）。

• 表示图的两种重要数据结构：邻接表和邻接矩阵（9.3节）。

• 用来在无向图中找出连通分支的算法和数据结构（9.4节）。

• 找出最小生成树的技巧（9.5节）。

• 名为“深度优先搜索”的用于探索图的实用技巧（9.6节）。

• 应用深度优先搜索测试有向图是否有环路，找出无环图的拓扑次序，以及确定是否存在从一个节点到另一节点的路径（9.7节）。

• 用来找出最短路径的迪杰斯特拉算法（9.8节）。该算法可找出从某个“源”节点到每个节点的最小距离。

• 找出任意两个节点间最小距离的弗洛伊德算法（9.9节）。

本章中的很多算法都是比解决问题的直观方法更加高效的实用技巧。

9.2　基本概念

有向图，是由节点集合N 以及N 上的二元关系A 组成的。我们将A 称为有向图弧的集合，因此弧是节点的有序对。

绘出的图如图9-1所示。各节点是用圆圈表示的，节点的名称就在圆圈中央。我们通常会用从0开始的整数为节点命名，或者使用等效的枚举。在图9-1中，节点集合N＝{0，1，2，3，4}。

A中的弧(u，v)都是由从u 到v 的箭头表示的。在图9-1中，弧的集合是

A={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，1)}

图 9-1　有向图的示例

在文本中，一般习惯将弧(u，v)表示为u→v。我们将v 称为弧的头部，而将u 称为弧的尾部，以适应v 在箭头的头部而u 在其尾部的概念。例如，0→1就是图9-1中的一条弧，它的头部是节点1，而尾部是节点0。另一条弧是0→1，这样一条从某节点通向其自身的弧就叫作自环（loop）。对该弧而言，头部和尾部都是节点0。

9.2.1　前导和后继

当u→v 是弧时，还可以说u 是v 的前导（predecessor），而且v 是u 的后继（successor）。因此，弧0→1就表示0是1的前导而1是0的后继，而弧0→0则表示0同时是其本身的前导和后继。

9.2.2　标号

就像对树那样，也可以为图的各节点附加标号（label）。标号是绘制在所对应的节点附近的。同样，可以在靠近弧中点的位置为弧放置标号。节点的标号或弧的标号可以是任意类型的。例如，图9-2就展示了节点名为1，标号为“狗”，节点名为2，标号为“猫”，而且有一条标号为“咬”的弧1→2。

图 9-2　含两个节点的标号图

和树一样，不应该把节点的名称与其标号弄混。同一幅图中各节点的名称必须是唯一的，但可能有不止一个节点的标号相同。

9.2.3　路径

有向图中的路径是一列节点(v1,v2,…,vk)，其中每个节点都有到下一节点的弧，也就是vi →vi+1，i=1,2,…,k-1。该路径的长度是k-1，也就是这条路径上弧的数量。例如，图9-1中的(0，1，3)就是一条长度为2的路径。

k=1的情况也是可以存在的。也就是说，任何节点v 本身都是一条从v 到v 的长度为0的路径。该路径上没有弧。

9.2.4　有环图和无环图

有向图中的环路（cycle）是指起点和终点为同一节点的长度不为0的路径。环路的长度就是这条路径的长度。请注意，路径长度为0的情况不是环路，虽然“其起点和终点是同一节点”。然而，由一条弧v→v 构成的路径是一条长度为1的环路。

示例 9.1

考虑图9-1中的图。因为有自环0→0，存在一条长度为1的环路(0，0)。还有一条长度为2的环路(0,2,0)，因为有弧0→2和2→0。同样，(1,3,2,1)是一条长度为3的环路，而(1,3,2,4,1)则是长度为4的环路。

请注意，环路的起点和终点可以是其中的任一节点。也就是说，环路(v1,v2,…,vk ,v1)也可以写为(v2,…,vk ,v1,v2)，或者写为(v3,…,vk ,v1,v2,v3)，等等。例如，环路(1,3,2,4,1)也可以写为(2,4,1,3,2)。

在每条环路中，第一个节点和最后一个节点都是相同的。如果环路(v1,v2,…,vk ,v1)的节点v1、…、vk 中没有一个出现一次以上，就说该环路是简单环路，也就是说，简单环路的唯一重复出现在最终节点处。

示例 9.2

示例9.1中的环路都是简单环路。在图9-1中，环路(0，2，0)是简单环路。不过，也有些环路不是简单环路，比如环路(0, 2, 1, 3, 2, 0)中节点2就出现了两次。

给定含有节点v的非简单环路，就能找到含有v的简单环路。要知道原因，可以假设有一条起点和终点都是v的环路(v,v1,v2,…,vk ,v1)。如果该环路不是简单环路，就只会是以下两种情况之一。

(1) v出现了3次或3次以上；

(2) 存在某个v 之外的节点u，它出现了两次，也就是，环路肯定是(v,…,u,…,u,…,v)这样的。

在第(1)种情况下，可以直接删除倒数第二次出现v 的位置之前的所有节点，结果是一条从v 到v 的更短环路。在第(2)种情况中，可以删除从u 到u 的部分，将其用一个u 替代，得到环路(v,…,u,…,v)。不管哪种情况，得到的结果肯定仍然是环路，因为结果中的每条弧都是原环路中的，因此肯定是出现在该图中的。

在让环路成为简单环路之前，可能有必要多次重复该变形。因为环路在每次迭代后总会变得更短，所以最终一定能得到简单环路。我们刚刚已经证明了，如果图中有一条环路，那么一定至少含有一条简单环路。

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