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发表日期： 2021-04-13 10:28:42 浏览次数：96

衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2] 衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5]

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2] [6-8]

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

示例 4.11

考虑一下n=4的情况，也就是看看(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)的积。

总共有16项，其中只有1项是x4y0（也就是x4）。如果从4个因式中都选出x，就能得到这一项。另一方面，有4项是x3y，对应的情况是从4个因式的任意一个中选出y，再从其余3个因式中选出x。对称地，有1项是y4，有4项是xy3。

那么有多少项是x2y2呢？如果从两个因式中选取x并从其余两个中选取y，就能得到这样一项。因此，必须要计算从4个因式中选择两个因子的方法数。因为选择两个因子的顺序是不产生影响的，所以这个数字就是 $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=4!/(2!\times2!)=24/4=6$ 。因此，有6项是x2y2。完整的展开式就是

(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

请注意等式右侧各项的系数，(1,4,6,4,1)，正好就是图4-8中帕斯卡三角形的一行。我们会看到，这并非巧合。

示例4.11中用于计算x2y2系数的概念可以推广开来。(x+y)n展开式中的项xmyn-m的系数为 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 。原因在于，只要从n个因式中选出m个x并选出n-m个y，就可以得到xmyn-m这一项。从n个因式中选出m个因子的方式有 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 种。

在二项式系数和 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 函数之间还有一种有趣的关系。我们已经看出

$(x+y)^n=\sum^{n}_{m=0}\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}x^my^{n-m}$

令x=y=1，那么有(x+y)n=2n。x和y的所有乘方都是1，所以上述等式就成了

$2^n=\sum^{n}_{m=0}\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$

换句话说，对某个特定的n而言，所有二项式系数的和就是2n。特别要说的是，每个系数 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 都小于2n。图4-11就暗示了，对接近n/2的m来说， $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 和2n 特别接近。由于在图4-11中曲线下方的区域表示2n，因此能看出为什么只有接近中点的一些值会比较大。

4.5.6　习题

1. 计算以下各值：(a) $\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}$ ；(b) $\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}$ ；(c) $\begin{pmatrix}10\\7\end{pmatrix}$ ；(d) $\begin{pmatrix}12\\11\end{pmatrix}$ 。

2. 从26个小写字母中选出5个不同字母的方法共有多少种？

3. 如下系数各为多少?

(a) (x+y)7的展开式中x3y4的系数；

(b) (x+y)8的展开式中x5y3的系数。

4. * 在Real Security公司，计算机密码必须由4位数字（10选4）和6个字母（52选6）组成，字母和数字都可以重复。总共可能有多少种不同的密码组合？提示：首先考虑选择4个存放数字的位置共有多少种方法。

5. * 5个字母组成的双元音序列有多少种？

6. 重新编写图4-9所示的程序片段，从而利用n-m小于n的情况。

7. 重新编写图4-9所示的程序片段，并将其转换成浮点数乘除交替的算法。

8. 证明：如果0≤m≤n，那么 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}$ 。

(a) 借助 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的含义。

(b) 利用(4.4)式。

9. * 通过对n的归纳，证明 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的递归定义正确地定义了 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 等于n!/((n-m)!×m!)。

10. ** 通过对n的归纳，证明图4-10中递归函数choose(n,m)的运行时间最多是 $c\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ ，其中c为某个常数。

11. * 证明：当0< m< n时，n×min(m,n-m)　总是大于(n-1)×min(m,n-m-1)　和(n-1)×min(m-1,n-m)。

4.6　相同项的次序

在本节中，要处理的是这样一些选择问题，其中含有一些相同项，但不同项出现的次序很重要。而在接下来的4.7节中，则要解决一类类似的选择问题，即有一些相同项，而且项的次序无关紧要。

示例 4.12

构词（anagram）猜谜游戏会给出一列字母，让玩家重新排列字母以构成单词。如果拥有含规范单词的字典，并能生成所有可能的字母序列，就可以通过计算机解决该问题。第10章会介绍判定给定字母序列是否处于字典中的有效方法。不过现在要考虑的是组合问题，可能首先要确定有多少单词需要用字典验证其确实存在。

对有些构词来说，计数很简单。假设有abenst 6个字母，可能会有Π(6)=6!=720种不同的次序，其中之一便是absent，也就是该谜题的“解答”。

不过，构词游戏通常会含有重复的字母。考虑一下谜题eilltt。这些字母就不能构成720种不同的序列。例如，交换两个字母t的位置似乎并不能让单词发生变化。

假设对两个t和两个l加以标记以区分这些字母，分别将其记为t1、t2、l1和l2。被标记的字母可能有720种次序。然而，这些标记过的l仅在位置上有区别，诸如l2it2t1l1e和l1it2t1l2e就并不是真的有区别。因为所有720种次序可以平分为两组，这两组的区别只在于l的下标，所以可以证明：如果将字母串的数量除以2，这些l其实都是相同的。

类似地，在字符串中只有字母t带标记时，可以将只有t的下标不同的字符串配对。例如，lit1t2le和lit2t1le就是一对。因此，如果再将数目除以2，就可以得到将t和l的标记删除后不同构词串的数量。该数字为360/2=180。即使用eilltt共有180种不同的构词方法。

我们可以将图4-12中的概念一般化为有n个项而且这些项被分为k 组的情形。各组中的成员都是相同的，而不同组的成员则是不同的。在这里假设mi 是第i 组中的成员项，其中i =1,2,…,k。

示例 4.13

重新考虑示例4.12中用eilltt构词的问题。其中共有6项，也就是说n=6。而分组的数量k 为4，因为有4个不同的字母。这4组中有两组含有一个成员（e 和 i），而另两组则含两个成员。因此可以取i1=i2=1，i3=i4=2。

如果为这些项加上标记，以使同一组中的成员有所不同，那么会有n!种不同的次序。不过，若第一组中有i1个成员，那么这些标记过的项可能会以i1!种不同的次序出现。因此，在从第一组的项上移除标记时，我们要将这些次序分成大小同为i1!的集合。因此必须将次序数除以i1!，从而得到从第1组删除标记后的次序数。

类似地，依次从各组中删除标记需要将不同次序的数量除以i2!、除以i3!，等等。对那些值为1的ij!来说，就是除以1!=1，因此没有任何影响。不过，对那些所含项数大于1的分组来说，我们必须除以分组大小的阶乘，这就是示例4.12中的情况。有两组中包含1个以上的元素，而每组的大小都是2，所以就要除以2!两次。可以通过对k的归纳证明该一般规则。

命题 S(k)。如果有n个项，并且分别被分为大小为i1、i2、…、ik的k个组，同一组中的项是相同的，而不同组中的项是不同的，那么这n个项能形成的不同次序的数目为

$\frac{n!}{\prod^{k}_{j=1}i_j!}$ 　　　　　　(4.7)

依据。如果k=1，那么只有一组无区别的项，不管n有多大都只有一种次序。如果k=1，那么i1一定为n，而(4.7)式就变成了n!/n!，也就是1。因此，S(1)成立。

归纳。假设S(k)为真，并考虑有k+1个分组时的情况。设最后一组中有m=ik+1个成员。这些项将会出现在m个位置，而且可以有 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 种不同的方式来选择这些位置。一旦选定了m个位置，把最后一组中的哪一项放在这些位置都没关系了，因为这些项都是没有区别的。

在为最后一组选择了位置后，还剩n-m个位置来容纳其余k个组。归纳假设适用，并且表明最后一组的每种位置选择都对应着其余位置中其余元素的 $(n-m)!/\prod^{k}_{j=1}i_j!$ 种不同次序。该式与(4.7)式相比，只是将(4.7)式中n的位置替换成了n-m，因为只剩n-m项有待放置了。因此k+1组项的次序总数为