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衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2]  衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5] 

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2]  [6-8] 

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

示例 4.14

一位探险家带了两个星期的口粮，其中包括4罐金枪鱼、7罐午餐肉以及3罐黄豆罐头。如果他每天打开一罐罐头，那么他消耗这些口粮的次序共有多少种？这里的14项分成了分别具有4、7和3个相同项的3组。按照(4.7)式，其中n=14，k=3，i1=4，i2=7，i3=3。因此他消耗口粮的次序数为

先从分母中的7!开始，可以约去分子14!中最后7个因数。因此就得到

继续约去分子和分母中的因数，就可以得到结果为120 120。也就是说，消耗这些口粮的方法有逾10万种。可惜每一种听起来都让人没什么胃口。

习题

1. 计算以下单词的字母构词的数量：(a) error；(b) street；(c) allele；(d) Mississippi。

2. 将下列水果排成一线共有多少种方法？

(a) 3个苹果、4个梨和5根香蕉；

(b) 2个苹果、6个梨、3根香蕉和2颗李子。

3. * 将白王、黑王、2个白骑士和1个黑车摆在棋盘上，共有多少种摆法？

4. * 100个人参与到一场彩票游戏中。其中一人可赢得千元大奖，还有5人可以得到50美元储蓄基金的安慰奖。那么总共可能有多少种不同的获奖结果？

5. 写一个简单的公式，用来计算放置n对两两相等的2n个对象的次序数。

4.7　将对象分装入箱

我们要介绍的下一类计数问题涉及对盛装若干对象之容器的选择。这些对象可能相同，也可能不同，不过容器是有区别的。我们必须计算这些装满容器的方法数。

示例 4.15

有凯西、彼得和苏姗3个孩子，我们要将4个苹果分给他们，而不把苹果切开。那么共有多少种分配苹果的方式？

这里的方法数比较少，因此可以直接将其枚举出来。凯西可能得到从0至4个不等的苹果，而不管余下几个苹果，分给彼得和苏姗的方式都只有少数几种。如果设(i,j,k)表示凯西得到i 个苹果、彼得得到j 个苹果而苏姗得到k 个苹果的情况，那么图4-12就展示了全部15种可能的分配方式。每一行对应着分给凯西的苹果数。

(0，0，4)　　(0，1，3)　　(0，2，2)　　(0，3，1)　　(0，4，0)
(1，0，3)　　(1，1，2)　　(1，2，1)　　(1，3，0)
(2，0，2)　　(2，1，1)　　(2，2，0)
(3，0，1)　　(3，1，0)
(4，0，0)

图 4-12　把4个苹果分给3个孩子共有15种方式

为将相同对象分装入箱计数的方法有个诀窍。假设用4个字母A来表示4个苹果，并用两个*来分隔属于不同孩子的苹果。两个*之间的A的数量就表示彼得分到的苹果数，而第二个*之后的A的数量则表示属于苏姗的苹果数。例如，AA*A*A表示（2,1,1）的分配方式，其中凯西分到2个苹果，其余两个孩子各分到1个。而序列AAA*A*则表示（3,1,0）的分配方式，其中凯西得到3个，彼得得到1个，苏姗一个都没有。

因此，每种分发苹果的方式都与由4个A和2个*组成的唯一字符串相关。那么有多少这样的字符串呢？考虑一下组成这种字符串的6个位置。其中任选4个位置用来存放A，另外两个位置用来存放*。正如我们在4.5节中了解到的，从6项中选择4项共有种方法。因为，所以又一次得出了将4个苹果分给3个孩子的方法共有15种的结论。

4.7.1　装箱问题的一般规则

我们可以按照下列方式将示例4.15介绍的问题一般化。假设给定n个容器，它们对应示例中的3个孩子。同时假设要将m个相同的对象随意地放进这些容器中。那么有多少种分装入箱的方式呢？

这里可以再次考虑A和*组成的字符串。A表示对象，而*表示容器间的边界。如果有n个对象，就有n个A，而如果有m个容器，那么就需要m-1个*来表示分隔不同容器的边界。因此，字符串的长度为n+m-1。

我们可以从这些位置中任选n个存放A，剩下的就是存放*的。因此共有种由A和 *组成的字符串，那么将对象分装入箱的方式也有这么多种。在示例4.15中，有n=4且m=3，所以就可以得到共有种分配方式的结论。

示例 4.16

在掷骰子游戏中，要掷出3个骰子，其中每个骰子的6个面上都标记了从1到6这6个数字。玩家可以为某个数字赌上1美元。如果这个数字不出现，钱就输掉了。如果该数字出现一次或多次，那么该玩家就可以得到与该数字出现次数等额的美元。

我们可能想要为“结果”计数，不过一开始在“结果”是什么的问题上可能有些疑问。如果将骰子不同的面涂上不同颜色以方便区别，就可将其视为4.2节中那样的计数问题，其中3颗骰子中的每一颗都能分配6个数字中的一个。我们知道，进行这样的分配共有63=216种方式。

不过，骰子通常是没有区别的，这些数字出现的顺序也是无关紧要的，只有每个数字出现的次数决定了哪个玩家会赢钱，会赢多少钱。例如，掷骰子的结果可能是有两颗是1，而第三颗是6。而6可能出现在第1颗、第2颗或第3颗骰子上，不过出现在哪颗骰子上都是没关系的。

因此，可以把这一问题视为将相同对象分装入箱的问题。“容器”就是1到6这几个数字，而“对象”就是3个骰子。一颗骰子会被“分装”到对应该骰子掷出数字的那个容器。因此，掷骰子游戏总共有种不同的结果。

4.7.2　分装有区别的对象

我们可以将之前的公式扩展一下，以便处理将可分为k类的n个对象装入m个容器的问题。同一类中的对象是没有区别的，但不同类的对象是不同的。这里用符号ai 表示第i 类中的成员。因此可以构成由下列对象组成的字符串。

1. 对每个类i，与类中所含成员数量等量的ai；

2. 用来表示m个容器间的边界的m-1个*。

因此这些字符串的长度是n+m-1，请注意，这些*构成了第k+1个类，而该类包含了m个成员。

我们在4.6节中已经了解过如何为这样的字符串计数。字符串的个数为

其中ij 表示的是第j 类中的成员数。

示例 4.17

假设有三个苹果、两个梨和一根香蕉要分给凯西、彼得和苏姗。那么“容器”的数量，也就是孩子的数量m=3。共有k=3组，分别有i1=3、i2=2和i3=1个成员。因为总共有6个对象，所以n=6，因此该问题中的字符串的长度为n+m-1=8。这些字符串由3个表示苹果的A、两个表示梨的P、一个表示香蕉的B，以及两个表示边界的*组成。因此，由分发方法数的计算公式可得到共有

种将这些水果分发给凯西、彼得和苏姗的方式。

计数问题的对比

在本节及之前的4.1到4.5节中，我们已经考虑了6种不同的计数问题。每种问题都可视作为特定的位置分配对象。例如，4.2节介绍的分配问题可以视为给定了n个位置（对应房屋），以及不限量的具有k个不同类型（对应颜色）之一的对象。我们可以顺着3个方向为这些问题分类。

1. 它们是否会放置所有给定的对象？

2. 分配对象的次序是否重要？

3. 所有对象都是不同的，还是说某些对象没有区别？

下表表示了之前各节提到的问题之间的区别。

节	典型问题	是否必须使用所有对象	次序是否重要	是否有相同的对象
4.2	粉刷房屋	否	是	否
4.3	排序	是	是	否
4.4	赛马比赛	否	是	否
4.5	扑克牌型	否	否	是
4.6	构词	是	是	是
4.7	给孩子分苹果	是	否	是

4.2节和4.4节中的问题在上表中体现不出什么区别。它们的区别在于是否放回，正如之前4.4.1节附注栏“有放回选择和无放回选择”中讨论的那样。也就是说，在4.2节中，每种“颜色”都是不限量供应的，可以多次选择同一颜色。而在4.4节中，一匹被选定的“赛马”不能在同一系列的选择中再被选中了。

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