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发表日期： 2021-04-13 10:07:01 浏览次数：152

衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2] 衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5]

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2] [6-8]

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

示例 4.10

考虑一下n=4且m=2的情况。我们在图4-8第5行的第3个条目处找到了 $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ 的值。该条目为6，而很容易验证 $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=4!/(2!\times2!)=24/(2\times2)=6$ 。

通过公式(4.4)或是上述递归这两种方法计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ ，计算出的自然是相同的值。可以通过诉诸物理推理（physical reasoning）来证实这一点。两种方法计算的都是从n 项中无序选择m 项的方法数，所以一定会得出相同的值。不过，还可以通过对n 的归纳证明这两种方式的等价性。在这里将该证明过程留作本节的习题。

4.5.3　计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的算法的运行时间

正如在示例4.9中所见，当我们使用公式(4.4)计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 时，可以约去分母中的(n-m)!和分子中n!的后n-m个因数，将 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 表示为

$\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\frac{n\times(n-1)\times\cdots\times(n-m+1)}{m\times(m-1)\times\cdots\times1}$ 　　　　　　(4.5)

如果m 比n 小，那么使用上述公式进行计算要比用公式(4.4)计算更快。大体上讲，图4-9中的C语言代码段就是用来完成这一工作的。

第(1)行将c 初始化为1，c 就成为了结果—— $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 。第(2)行和第(3)行会给c 乘上从n-m+1到n的各个整数。然后，第(4)行和第(5)行会依次从c 除去从2到m 的各个整数。因此，图4-9就实现了(4.5)式中的公式。

(1)      c = 1;(2)      for (i = n; i > n-m; i--)(3)          c *= i;(4)      for (i = 2; i <= m; i++)(5)          c /= i;复制代码

图 4-9　计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的代码

要计算图4-9的运行时间，只要注意到第(2)～(3)行及第(4)～(5)行这两个循环，每个循环都会迭代m次，而且循环体的运行时间都是O(1)。因此，运行时间是O(m)。

在m接近n而n-m很小的情况下，可以交换m和n-m的角色。也就是说，可以约去n!和m!的因数，得到n(n-1)…(m+1)，并将其除以(n-m)!。该方法给出了(4.5)所示公式的另一种形式，即

$\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\frac{n\times(n-1)\times\cdots\times(m+1)}{(n-m)\times(n-m-1)\times\cdots\times1}$ 　　　　　　(4.6)

同样，存在与图4-9类似的代码段来实现公式(4.6)，而且所花的时间为O(n-m)。因为要定义 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 就一定有n-m和m不大于n，所以不管是哪种方式，O(n)都是运行时间的边界。此外，在m接近0或者接近n 时，两种方法中更优方法的运行时间都要大大小于O(n)。

不过，图4-9有个重大缺陷。它先要计算若干整数的积，然后再将其除以相同数量的整数。因为普通的计算机运算只能处理有限大小的整数（通常，一个整数最大可以达到约20亿），所以图4-9第(3)行计算中间结果的过程可能有溢出整数大小限制的风险。即使是在 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的值足够小，可以在某计算机中表示出来的情况下，也还是可能出现这种情况。

更好的方式是让乘法和除法交替进行。首先乘上n，然后除以m。乘上n-1，再除以m-1，以此类推。这种方法的问题在于，我们没理由相信每一阶段的计算结果都是整数。例如，在示例4.9中，首先要乘上52并除以5，这个结果就已然不是整数了。因此，在进行任何计算前都需要转换为浮点数。在这里将这一修改留作本节的习题。

让 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 一定得出整数的公式
要看出为什么(4.4)、(4.5)和(4.6)这几个式子中多个因数的商一定是整数可能不容易。唯一的简单论证就是诉诸物理推理。这些公式都是计算从n个事物中选取m个的方法数，而这个数字一定是某个整数。
不借助这些公式的物理意义，而从整数的属性来论证这一事实，要难上很多。其实可以通过仔细分析分子和分母中各质数因子数来证明这一事实。拿示例4.9中的表达式当例子。其中分母中有5这个因数，而分子中有5个因数，由于这些因数是连续的，可知其中必有一个能被5整除，而它正好是中间的那个因数——50。因此，分母中的5肯定会被约去。

现在来考虑计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的递归算法。可以通过图4-10所示的简单递归函数来实现这一算法。

图4-10中的函数效率不高，因为它调用choose的次数会呈指数级增长。原因就在于当使用n作为首个参数调用该函数时，往往会在第(6)行用n-1作为首个参数进行两次递归调用。因此，可以预见，当n 增加1时，调用的次数就会翻倍。而且递归调用的确切次数是很难计算的。原因在于第(4)行和第(5)行的依据情况不仅适用于n=1的情况，而对更大的n，会提供值为0或n 的m。

下面要证明一个简单但稍显悲观的上界。设T (n)是当首个参数为n 时图4-10所示程序段的运行时间。可以直接证明T(n)是O(2n)。假设a是第(1)行到第(5)行，加上第(6)行涉及调用与返回的部分（不含递归调用本身所花的时间）的总运行时间。然后就可以通过对n 的归纳证明下列命题。

         /* 对0 <= m <= n，计算从n 个元素中选择m 个的方法数 */
         int choose(int n, int m)
         {
             int n, m;(1)          if (m < 0 || m > n) {/* 错误的条件 */(2)              printf("invalid input\n");(3)              return 0;
             }(4)          else if (m == 0 || m == n) /* 依据情况 */(5)              return 1;
             else /* 归纳 */(6)              return (choose(n-1, m-1) + choose(n-1, m));
         }复制代码

图 4-10　计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的递归函数

命题 S(n)。如果用第一个参数n以及在0和n之间的第二个参数m调用choose，那么该调用的运行时间T(n)至多为a(2n-1)。

依据。 n=1。那么一定有m=0或m=1=n。因此，依据情况适用于第(4)行和第(5)行，而且没有进行递归调用。第(1)行到第(5)行的时间都包含在a中，因为S(1)是说T(1)至多为a(21-1)=a。

归纳。假设S(n)成立，也就是有T(n)≤a(2n+1)。要证明S(n+1)成立，假设要以n+1为首个参数调用choose。那么图4-10所示程序段花的时间就是a加上第(6)行两次递归调用的时间。根据归纳假设，每次调用花费的时间至多为(2n-1)。因此，消耗的总时间最多是：

a+2a(2n-1)=a(1+2n+1-2)=a(2n+1-1)

这一计算过程就证明了S(n+1)成立，并证明了归纳步骤。

因此证明了T(n)≤a(2n-1)。舍去常数因子及低阶项，就可以得出T(n)是O(2n)的结论。

奇怪的是，尽管在第3章的分析中，很容易就证明了运行时间的平滑紧上界，但T(n)上的边界O(2n)虽平滑却不紧凑。合适的平滑紧上界要稍小一些—— $O(2^n\sqrt{n})$ 。要证明这一事实相当困难，不过在这里要留一个更为简单的事实作为习题来证明，就是图4-10所示程序段的运行时间与它返回的值 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 成比例。要看到图4-10中的递归算法，效率要比图4-9中的算法低得多。这是一个递归严重不靠谱的例子。

4.5.4　 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 函数的图像

对某个固定的值n 而言，m 的函数 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 有着不少有意思的属性。对于值比较大的n 来说，如图4-11所示，其图像为一条钟形的曲线。我们很容易看出函数图像是关于中点n/2所在轴线对称的，运用声明 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-m\end{pmatrix}$ 的公式(4.4)很容易证实这一点。

最大高度处于中心位置，也就是 $\begin{pmatrix}n\\n/2\end{pmatrix}$ ，大约是 $2^n\sqrt{\pi n/2}$ 。例如，若n=10，这一公式可以得出258.37，而 $\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}=252$ 。

该曲线的“厚部”是中点两边各约 $\sqrt{n}$ 的范围。例如，如果n=10 000，那么对处在4900和5100之间的m， $\begin{pmatrix}10000\\m\end{pmatrix}$ 就接近最大值。而对这个范围之外的m来说， $\begin{pmatrix}10000\\m\end{pmatrix}$ 的值会下降得特别迅速。

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图 4-11　n 为固定值的 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 函数

4.5.5　二项式系数

函数 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 除了可以用来计数外，还能提供二项式系数。在展开二项式的乘方（比如(x+y)n）时，就会看到这些数字。

在展开(x+y)n时，会得到2n个项，其中每一项都是xmyn-m这样的形式（m是0到n之间的某个整数）。也就是说，对每个因式x+y，都可能从x 和y 中任选其一作为某个特定项的因子。展开式中xmyn-m的系数是由m个x 和其余n+m个y 组成的项的数量。

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示例 4.10

4.5.3 计算的算法的运行时间

4.5.4 函数的图像

4.5.5 二项式系数

4.5.3　计算 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 的算法的运行时间

4.5.4　 $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ 函数的图像

4.5.5　二项式系数