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衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2]  衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5] 

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2]  [6-8] 

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

有放回选择和无放回选择

示例4.5中考虑的问题与4.2节考虑的分配问题只有细微的差别。如果用房屋和颜色来表示，就可以将选出前三名完成比赛的赛马视为将10匹马（颜色）分配给三个完赛排位（房屋）。唯一的区别是，将多所房屋粉刷成相同颜色是可以的，而说一匹赛马同时获得冠军和季军则很荒唐。因此，用10种颜色之一粉刷3所房屋的方法共有103或者说是10×10×10种，而从10匹赛马中选择前三名完成比赛的赛马则有10×9×8种方法。

有时候我们会将4.2节进行的这种选择称为有放回选择。也就是说，当为一所房屋选择一种颜色（比如说是红色）后，会将红色“放回”可供选择的颜色池中，然后可以继续为其他房屋再次选择红色。

另一方面，我们在示例4.5中讨论的有序选择被称为无放回选择。这种情况下，如果赛马“硬面包”被选作冠军，那么它就不能被放回含有亚军和季军的马匹池了。类似地，如果赛马“秘书处”被选为第二名，那么它也就不可能再成为获得季军的马匹了。

4.4.2　习题

1. 从26个字母中选出m个字母组成序列，如果不允许同一字母出现一次以上，那么有多少种不同的组合方式？分别计算m=3及m=5的情况。

2. 在一个有200名学生的班级中，我们希望选出一位会长、一位副会长、一位秘书和一位财务主管。选择这4位干部的方式共有多少种？

3. 计算如下阶乘之商：(a)100!/97!(b)200!/195!。

4. “珠玑妙算”（Mastermind）这个游戏要求玩家选择一个由一列4个珠子组成的“密码”，每个珠子都可能是红、绿、蓝、黄、白和黑这6种颜色中的一种。

(a) 总共有多少不同的密码？

(b*) 有两个或多个珠子颜色相同的密码有多少种？提示：这个量是(a)小题的答案与另一个易于计算的量之间的差。

(c) 不含红色珠子的密码有多少种？

(d*) 不含红色珠子而且至少有两个珠子颜色相同的密码有多少种？

5. * 通过对n 的归纳证明，对1和n 之间的任意m，有Π(n,m)=n!/(n-m)!。

6. * 通过对a-b 的归纳证明，a!/b!=a(a-1)(a-2)…(b+1)。

阶乘之商

请注意，一般而言，只要b< a，a!/b!就是从b+1到a 这些整数的积。通过计算

a×(a-1)×…×(b+1)

来计算阶乘之商，要比分别求出每个阶乘的值然后相除更容易，特别是在b不比a 小很多的情况下。

4.5　无序选择

在很多情况下，我们希望计算出从一组项中进行选择到底有多少种方法，而其中所选项的顺序倒是无关紧要。按照4.4节中赛马结果示例的说法，我们可能想知道前三名完成比赛的赛马是哪三匹，但不关心到底哪匹马赢得了哪个名次。换句话说，就是想知道从n匹赛马中选出3匹作为前三名完成比赛的马匹，方法有多少种。

示例 4.7

再次假设n=10。我们从示例4.5中得知，选择3匹赛马，假设说是A、B和C，分别作为冠亚季军的方式共有720种。然而，我们现在不关心这3匹马完成比赛的具体次序，只是想知道A、B和C这3匹马以某种次序获得了前三名。因此，我们将通过6种不同的方式得到答案“A、B和C是最好的3匹赛马”，分别对应3匹马在前三名中6种不同的排位。可知刚好存在6种方法，因为给3个项排序的方法为Π(3)=3!=6种。如果还有疑问的话，可以参考图4-7所示的这6种方法。

图 4-7　3匹马完成比赛的6种顺序

对A、B 和C 这3匹马来说成立的情况，对任意一组3匹马来说都成立。在为从10匹马中有序选择出3匹马的情况计数时，每一个3匹马构成的组都会刚好按照它们可能形成的所有次序出现6次。因此，如果只需要计算可能为前三名的3匹马的组合数，就还要在Π(10，3)的基础上除以6。因此，从10匹马中选出3匹作为前三名的马共有720/6=120种不同组合。

示例 4.8

再来考虑一下扑克牌型的数量。在扑克牌游戏中，每名玩家都会分到从52张牌中发出的5张。这里不用考虑分到的5张牌究竟是什么顺序，只关心拿到的这5张牌到底是哪5张。要计算分到的5张牌可能有多少种情况，可以先从计算Π(52，5)开始，也就是从52个对象中有序选择5个对象的情况总数。这一数字是52!/(52-5)!，就是52!/47!，或者说是50×49×48=311 875 200。

不过，就像示例4.7中跑得最快的3匹马总共可能以3!=6种次序出现那样，任意一组5张牌都可能以Π(5)=5!=120种不同的次序出现。因此，要在不考虑选择次序的情况下考虑可能构成的牌型，就必须用有序选择的次数除以120。结果是共有311 875 200/120=2 598 960种不同的牌型。

4.5.1　为组合计数

现在要将示例4.7和示例4.8中介绍的情况一般化，以得出在不考虑选择顺序的情况下计算从n项中选出m项的方法数的公式。这一函数通常可写为，并说成是“n选m”或是“从n个元素中选取m个元素的组合数”。要计算，首先要计算Π(n,m)=n!/(n-m)!，也就是从n个事物中有序选择出m个的方法数。然后要根据选出的这m项来为这些有序选择分组。因为这m项可以有Π(m)=m!种不同的次序，所以这些分组中各含m!个成员。要得到无序选择的数目，就必须要用有序选择的数目除以m!，也就是

　　　　　　(4.4)

示例 4.9

回顾一下示例4.8，它用到了公式(4.4)，其中n=52Π，m=5。于是有。如果将47!与52!中的后47个因数约去，并展开5!，就可以写为

进行简化，就得到 。

4.5.2　n 选m 的递归定义

如果递归地考虑从n项中选出m项的方法数，就可以得出计算的递归算法。

依据。对任意n≥1，有。也就是说，从n项中选择0项只有一种方式。此外，，也就是说，从n项中选择n项的唯一方法就是将它们都选上。

归纳。如果0< m< n，那么。也就是说，如果想从n项中选出m项，可以用以下两种方法中的任一种。

1. 不选取第一个元素，接着从剩下的n-1个元素中选取m个。这项表示的就是这种情况下可能的选择方法数。

2. 选取第一个元素，然后从剩下的n-1个元素中选取m-1个元素。这项表示的就是这种情况下可能的选择方法数。

顺便提一句，尽管归纳部分的概念应该很明确（先从全选或全不选的最简单情况开始，进而处理选择某些元素的更复杂的情况），不过还是要谨慎起见，说明是对什么量进行归纳。看待这一归纳的方式之一是，将其视为对m和n-m二者中较小的那个与n的积进行完全归纳。那么当该积为0，而且归纳是针对该积的较大值进行时，就会发生依据的情况。我们还必须为归纳过程核实，当0< m< n时，n×min(m,n-m)总大于(n-1)×min(m,n-m-1)以及(n-1)×min(m-1,n-m)。这一验证过程将留作本节的习题。

这种递归关系通常是用帕斯卡三角形（Pascal's triangle）1表示的，如图4-8所示，其中两条边全部由1构成（表示依据），而三角形中每个内部条目都是它左上角和右上角相邻条目之和。那么将作为第(n+1)行的第(m+1)个条目被读取。

1又称杨辉三角或贾宪三角。——译者注

图 4-8　帕斯卡三角形的前几行

示例 4.10

考虑一下n=4且m=2的情况。我们在图4-8第5行的第3个条目处找到了 的值。该条目为6，而很容易验证。

通过公式(4.4)或是上述递归这两种方法计算，计算出的自然是相同的值。可以通过诉诸物理推理（physical reasoning）来证实这一点。两种方法计算的都是从n 项中无序选择m 项的方法数，所以一定会得出相同的值。不过，还可以通过对n 的归纳证明这两种方式的等价性。在这里将该证明过程留作本节的习题。

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