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发表日期: 2021-04-17 15:09:36 浏览次数:3

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雄安新区(Xiong'an New Area [1]  ),为河北省管辖的国家级新区, [2-3]  位于河北省中部,地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域, [4]  起步区面积约100平方千米,中期发展区面积约200平方千米,远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年,雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日,中共中央、国务院印发通知,决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸,在大清河水系冲积扇上,属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候,四季分明。 [8]  有南拒马河,大清河,白沟引河等河流过境,白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境,有G18荣乌高速公路,G2011青新高速公路,G45大广高速公路,S7津保高速公路,京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日,雄安新区设中国(河北)自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月,雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年,雄安新区地区生产总值为215亿元。

12.9.3 反证法

我们经常不是“直接”证明表达式E,而是利用更简单的方式,首先假设NOT E,然后利用矛盾(也就是表达式FALSE)进行证明。这种证明的依据是以下重言式。

12.29 反证法(\overline{p}\to0)\equiv p

粗略地讲,如果由\overline{p}可以得出0,也就是得出FALSE或引起矛盾,就和证明了p 是一样的。这一条法则其实是由其他法则得出的。如果用\overline{p}替换法则12.24中的p,用0替代其中的q,就得到如下等价

(\overline{p}→0)≡(NOT(\overline{p})+0)

根据法则12.13,双重否定可以抵消,于是就可以把NOT(\overline{p})替换为p,这样就有了

(\overline{p}\to 0)\equiv(p+0)

而法则12.11告诉我们,(p+0)=p,进一步替换就得出了

(\overline{p}\to 0)\equiv p

示例 12.24

现在重新考虑一下示例12.23中的命题abc,在这里例子中我们假设x 是正整数,并分别断言x>2、x 是质数、x 是奇数。我们想要证明定理abc,因此可以用该表达式替换法则12.29中的p。那么\overline{p}\to 0就成了(NOT(abc))→0。

如果对第一个蕴涵使用法则12.24,就得到

(NOT(NOT(ab)+c ))→0

对里层的NOT应用德摩根律就得到(NOT(\overline{a}+\overline{b}+c))→0。再次利用德摩根律,并两次利用法则12.13消除双重否定,就将该表达式变成了(ab\overline{c})\to 0

这就是命题逻辑所能做到的极限了,现在必须进行与整数有关的推理。我们必须从ab\overline{c}开始,并得出矛盾。换句话说,首先要假设x>2,x 是质数,而且x 是偶数,并一定要从这些假设中得出矛盾。

因为x 是偶数,所以可以说对某个整数y而言有x=2y。因为x>2,就一定有y≥2。不过这样一来,等于2y 的x 就是两个大于1的整数的积,也就是说x 是个合数。因此就证明了x 不是质数,也就是命题\overline{b}。因为给定了b,也就是x是质数,现在又有了\overline{b},这样就有了b\overline{b},而根据法则12.27,它是等于0,或者说为FALSE的。

于是证明了(NOT(abc))→0,根据法则12.29这就等价于abc。这样也就完成了反证法证明。

12.9.4 等价于真

下一种证明方法让我们可以通过以相等换相等,直到表达式归约为1(TRUE),证明该表达式是重言式。

12.30 通过等价于真证明:(p≡1)≡p

示例 12.25

表达式rsr表示,两个表达式的AND蕴涵了第一个表达式(而且根据AND的交换律,也蕴涵了第二个表达式)。可以通过以下一系列等价证明rsr是个重言式。

rs → r
1) ≡ NOT(rs) + r
2) ≡ (\overline{r}+\overline{s}) + r
3) ≡ 1 + \overline{s}
4) ≡ 1

应用法则12.24,用ANDOR定义→,得到(1)。应用德摩根律得出(2)。利用法则12.7和12.8,重新排列各项,然后根据法则12.25用1替代r+\overline{r},就得到了(3)。最后,应用法则12.13,1是OR的零元,这样就有了(4)。

12.9.5 习题

1. 证明法则12.25和12.27是相互对偶的。

2. * 我们想证明定理“如果x 是完全平方数而且x 是偶数,那么x 可以被4整除。”

(a) 指定代表该定理中提到的3个有关x 的条件的命题变量。

(b) 把该定理用这些命题正式地表示出来。

(c) 用命题变量的形式和口头描述的形式给出(b)小题得到命题的质位变换命题。

(d) 证明(c)小题得到的命题。提示:要注意到,如果x 不能被4整除,那么要么x 是奇数,要么x=2y 且y 是奇数。

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