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发表日期: 2021-04-17 15:08:24 浏览次数:4

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雄安新区(Xiong'an New Area [1]  ),为河北省管辖的国家级新区, [2-3]  位于河北省中部,地处北京、天津、保定腹地。雄安新区包括雄县、容城县、安新县三县及周边部分区域, [4]  起步区面积约100平方千米,中期发展区面积约200平方千米,远期控制区面积约2000平方千米。 [4]  2017年,雄安新区常住人口104.71万人。 [5] 

2017年4月1日,中共中央、国务院印发通知,决定设立国家级新区河北雄安新区。 [6-7]  雄安新区位于太行山东麓、冀中平原中部、南拒马河下游南岸,在大清河水系冲积扇上,属太行山麓平原向冲积平原的过渡带。属暖温带季风型大陆性气候,四季分明。 [8]  有南拒马河,大清河,白沟引河等河流过境,白洋淀位于境内。境内有京雄城际铁路、津雄城际铁路、固保城际铁路和京石城际铁路等过境,有G18荣乌高速公路,G2011青新高速公路,G45大广高速公路,S7津保高速公路,京雄高速公路等高速横贯全境。 [9]  2019年8月30日,雄安新区设中国(河北)自由贸易试验区雄安片区。 [10]  2019年12月,雄安新区入选首批交通强国建设试点地区。 [11-12] 

2019年,雄安新区地区生产总值为215亿元。

12.9.1 排中律

首先要介绍一些表示与如何进行推理有关的基本事实的重言式。

12.25 排中律(p+\overline{p})\equiv1是重言式。

也就是说,某事物要么为真,要么为假,不存在中间状态。

示例 12.22

作为法则12.25的应用,同时也利用到我们目前已经了解的若干其他法则,可以证明12.6节中用过的法则(pq+\overline{p}q)\equiv q。首先根据法则12.1,等价的自发性,用1 AND q 替换p,就有

(1 AND q)≡(1 AND q)

接着,通过法则12.25,可以“以相等换相等”,用p+\overline{p}替换上式左边的1,因此

((p+\overline{p})q)≡(1 AND q)

是重言式。对该等价的右边使用法则12.10,用q 替换1 AND q。然后对左边,我们使用12.9,ANDOR的分配律,进而利用法则12.5,AND的交换律,从而证实左边与pq+\overline{p}q等价。因此有

(pq+\overline{p}q)\equiv q

这正是我们想要的。

将排中律一般化,就得到了名为“情况分析”(case analysis)的证明技巧,其中我们想证明某表达式E。我们会取另一个表达式F,及其否定NOT F,并证明FNOT F 都蕴涵E。因为F 肯定要么为真要么为假,所以我们就得出了E。情况分析的正式依据是如下重言式。

12.26 情况分析:((p\to q)AND(\overline{p}\to q))≡q

也就是说,这两个实例是在p 为真和p 为假时发生的。如果q 被两个实例蕴涵,那么q 一定为真。我们把证明12.26可由12.25和其他已证明的法则得出这一任务留作本节习题。

12.27 p\overline{p}\equiv 0

命题及其否定不可能同时为真。这一法则在使用“反证法”时显得至关重要。我们很快就会在法则12.29中讨论这一证明技巧,而且在12.11介绍分解证明时也要提及。

12.9.2 换质位法

有时候我们想要证明pq 这样的蕴涵,却发现证明\overline{q}\to\overline{p}这一被称为pq 的质位变换命题的等价表达式要更加简单。这一原则可以用如下法则公式化。

12.28 质位变换法则(contrapositive law):(p\to q)\equiv(\overline{q}\to\overline{p})

示例 12.23

我们来考虑一个简单的例子,向大家展示可以如何利用质位变换法则。这个示例还表现了

命题逻辑在证明过程中的局限。逻辑只能完成部分工作,允许我们在不参考命题本身含义的情况下对命题进行推理。不过,要得到完整的证明,通常还必须指定一些参数,让它们指代各项的含义。对本例来说,我们需要知道像“质数”、“奇数”和“大于”这样与整数有关的概念的含义是什么。

我们要考虑下面3个与正整数x 有关的命题

a

x>2”

b

x是质数”

c

x是奇数”

我们想要证明的定理就是abc,也就是

命题 “如果x 大于2且是质数,那么x 是奇数。”

首先要应用已经了解的一些法则,将表达式abc 变形为更方便证明的等价表达式。首先,我们要利用法则12.28将其变成质位变换命题的形式\overline{c}NOT(ab)。然后利用德摩根律12.20(a)将NOT(ab)变形为\overline{a}+\overline{b}。也就是说,可以把该定理变形为\overline{c}\to(\overline{a}+\overline{b})。换句话说,需要证明

命题 “如果x 不是奇数,那么它要么不大于2,要么不是质数。”

我们可以把“不是奇数”替换为“是偶数”,“不大于2”替换成“小于等于2”,并把“不是质数”替换为“是合数”。因此要证明的是

命题 “如果x是偶数,则要么有x<2,要么有x是合数。”

现在已经将命题逻辑应用到极致了,接下来必须开始谈论这些项的含义了。如果x 为偶数,那么对某个整数y 而言有x=2y,这也就是x 为偶数的含义。因为在该证明中假设了x 为正整数,所以y 一定是大于等于1的。

现在可以使用情况分析了,分别考虑y=1和y>1这两种情况,因为我们论证过y≥1,所以这是仅有的两种情况。如果y=1,那么x=2,这样就证明了x≤2。如果y>1,那么x 是2和y 这两个都大于1的整数的积,这就表示x 是合数。因此我们证明了,如果x 是偶数,那么要么有x≤2(在y=1情况下),要么有x 是合数(在y >1的情况下)。

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