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丹阳市，江苏省辖县级市，由镇江市代管，位于江苏省南部，介于北纬31°44′～32°08′、东经119°23′～119°53′之间，总面积1047平方公里。丹阳属亚热带季风气候，具有气候湿润、光照充足、雨量丰沛、无霜期长、四季分明的气候特征。截至2019年，丹阳市辖2个街道、10个镇。常住人口80.63 万人。 [1] 

丹阳建置始于战国时期，初为云阳邑。《山海经》中有一条河叫“丹水”，即丹江，根据“山水阴阳，水北为阳”的理论命名丹阳。 [2]  1987年12月，丹阳撤县设市，为丹阳市，由镇江市代管。丹阳市与常州市新北区交界处建有常州奔牛国际机场，沪宁高速公路（G42沪蓉高速）、312国道、122省道、338省道等是通过公路出入丹阳的主要干道，水运有京杭大运河纵贯丹阳，大港港口是对外开放的长江第三大港。 [3] 

2019年，丹阳市实现地区生产总值1121.99亿元，同比增长4.7%。 [4]  2018年12月，入选全国县域经济综合竞争力100强，2018中国大陆最佳商业城市100强、中国最佳县级城市30强。 [5]  2019年10月8日，被评为2019年度全国综合实力百强县市。 [6]  2019全国营商环境百强县。 [7]  2019年国家卫生城市。 [8]  2020年12月，社科院发布《全国县域经济综合竞争力100强》，丹阳排名第40 [9]  。

代码

可以通过编码来求解前面看到的导数的近似值：

from typing import Callabledef deriv(func: Callable[[ndarray], ndarray],
          input_: ndarray,
          delta: float = 0.001) -> ndarray:
    '''
    计算函数func在input_数组中每个元素处的导数。
    '''
    return (func(input_ + delta) - func(input_ - delta)) / (2 * delta)复制代码

　当说  是 （随机选的字母）的函数时，其实是指存在某个函数 ，使得 。或者说，有一个函数 ，它接受对象  并产生对象 。也可以说， 是函数  应用于  时产生的任意函数值：

可以将其编码为下面这种形式。

def f(input_: ndarray) -> ndarray:
    # 一些转换
    return output

P = f(E)复制代码

1.3　嵌套函数

现在来介绍一个概念，该概念将成为理解神经网络的基础：函数可以被“嵌套”，从而形成“复合”函数。“嵌套”到底是什么意思呢？假设有两个函数，按照数学惯例，它们分别为  和  ，其中一个函数的输出将成为另一个函数的输入，这样就可以“把它们串在一起”。

数学

嵌套函数在数学上表示为：

这不太直观，因为有个奇怪的地方：嵌套函数是“从外而内”读取的，而而运算实际上是“从内而外”执行的。例如，尽管  读作“  接受  接受  对象而产生对象 ”，但其真正含义是“首先将  应用于 ，然后将  应用于该结果，最终得到对象 ”。

示意图

要表示嵌套函数，最直观的方法是使用小型工厂表示法，又称盒子表示法。

如图 1-6 所示，输入进入第一个函数，转换之后进行输出。然后，这个输出进入第二个函数并再次转换，得到最终输出。

图 1-6：直观地表示嵌套函数

代码

前面已经介绍了两个维度，接下来从代码维度来认识嵌套函数。首先，为嵌套函数定义一个数据类型：

from typing import List# 函数接受一个ndarray作为参数并生成一个ndarrayArray_Function = Callable[[ndarray], ndarray]# 链是一个函数列表Chain = List[Array_Function]复制代码

然后，定义数据如何经过特定长度的链，以长度等于 2 为例，代码如下所示。

def chain_length_2(chain: Chain,
                   a: ndarray) -> ndarray:
    '''
    在一行代码中计算“链”中的两个函数。
    '''
    assert len(chain) == 2, \    "Length of input 'chain' should be 2"

    f1 = chain[0]
    f2 = chain[1]

    return f2(f1(x))复制代码

另一种示意图

使用盒子表示法描述嵌套函数表明，该复合函数实际上就只是一个函数。因此，可以将该函数简单地表示为  ，如图 1-7 所示。

图 1-7：嵌套函数的另一种表示法

此外，在微积分中有一个定理，那就是由“基本可微”的函数组成的复合函数本身就是基本可微的！因此，可以将  视为另一个可计算导数的函数。计算复合函数的导数对于训练深度学习模型至关重要。

但是，现在需要一个公式，以便根据各个组成函数的导数来计算此复合函数的导数。这就是接下来要介绍的内容。

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