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河间市，古称河涧、瀛州，河北省辖县级市，由沧州市代管，东与沧县、青县接壤，北与大城县、任丘市交界，西与肃宁县、高阳县相邻，南与献县相连。属于湖积冲积平原，地势自西南向东北逐渐降低，典型大陆性季风气候，受季风影响，四季分明。截至2015年底，辖20个乡镇，615个行政村 [1]  ，总面积1333平方公里 [33]  ，总人口88.2万人。1990年10月撤县设市。 [2-3] 

河间市地处华北平原，盛产多种粮棉瓜果，尤以金丝小枣、天津鸭梨等著名。工业产品种类很多，化工、纺织、电缆均较突出，形成了以电线电缆、保温材料、汽车配件、建材、花卉、餐具为主的六大支柱产业。

2016年，河间市完成地区生产总值287.2亿元，增长8.2%。 [4]  2019年12月，成为全国乡村治理体系建设试点单位。2020年9月，入选河北省食品产业强县（市、区）（培育型）名单。

可以对示例10.12进行概括，得出任意用粗体表示的字符串，都是表示由一个字符串（相应字符组成的表）构成的语言的正则表达式。比如，then就是语言为{then}的正则表达式。我们将看到，串接是一种具有结合性的运算符，所以不管正则表达式中的字符如何分组都是没关系的，而且不需要使用括号。

示例 10.13

现在来看看两个语言不是单元素集的正则表达式的串接。设R是正则表达式a|(ab)。5语言L(R )就是L(a)和L(ab)的并集，即{a，ab}。设S是正则表达式c|(cb)。同样，L(S )={c，cb}。正则表达式RS 就是(a|(ab))(c|(cb))。请注意，出于运算优先级的原因，R 和S 上的括号是必要的。

5正如接下来将要看到的，串接要优先于取并，所以这里的括号是多余的。

图 10-25　形成{a，ab}和{c，cb}的串接

要找出L(RS )中的字符串，就要将L(R )中的两个字符串与L(S )中的两个字符串一一配对。这一配对方式如图10-25所示。从L(R )中的a和L(S )中的c，可以得到字符串ac。而字符串abc可以用两种不同方式得到，要么是(a)(bc)，要么是(ab)(c)。最后，L(R )中的ab与L(S )中的bc串接就得到字符串abbc。因此L(RS )就是{ac，abc，abbc}。

请注意，语言L(RS )中的字符串数量不可能大于L(R )中字符串数量和L(S )中字符串数量的积。事实上，L(RS )中字符串的数量刚好就是这个积，除非存在一些“巧合”，也就是同一字符串可以通过两种或多种不同方式形成的情况。示例10.13就是这样一个例子，其中字符串abc就可以用两种方式生成，因此L(RS )中就只有3个字符串，要比R 和S 的语言中字符串数量之积少1。同样，语言L(R | S )中字符串的数量也不大于语言L(R )和L(S )中字符串数量的和，而且在L(R )和L(S)中有相同字符串时只可能比该和小。在讨论这些运算符的代数法则时我们还将看到，正则表达式的取并和串接，与算术运算符+和×之间，存在一种相近但不精确的类比。

3. 闭包

第三个运算符是克林闭包（Kleene closure）或直接称为闭包。6它是个一元的后缀运算符，也就是说，它接受一个操作数并且出现在该操作数之后。闭包是用星号表示的，所以R *是正则表达式R 的闭包。因为闭包运算符有着最高的优先级，所以通常需要在R 两侧放上括号，将其写为(R )*。

6StevenC.Kleene最早撰写了描述正则表达式代数的论文。

闭包运算符的作用是表示“R 中的字符串没有出现或多次出现”。也就是说，L(R *)由下列内容组成。

1. 空字符串ε，可以将其视作R 中的字符串没有出现。

2. 在L(R )中的所有字符串，表示L(R )中的字符串出现一次。

3. 在L(RR )中的所有字符串，也就是L(R )与自身的串接，表示L(R )中的字符串出现两次。

4. 在L(RRR )、L(RRRR )等中的所有字符串，表示L(R )中的字符串出现3次、4次和更多次。可以有如下非正式的表示

R *＝ε | R |RR |RRR |…

不过，一定要理解，等号右侧的表达式并不是正则表达式，因为它包含无数个取并运算符。而所有正则表达式都是用有限数量的这3种运算符构建的。

示例 10.14

设R=a。那么L(R *)是什么？当然，ε 肯定在该语言中，因为它一定在任意闭包中。而L(R )中唯一的字符串a也在该语言中，还有L(RR )中的aa，L(RRR )中的aaa，等等。也就是说，L(a*)是由含0个或多个a的字符串组成的集合，也就是{ε，a，aa，aaa，…}。

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