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武安市，河北省直辖，邯郸市代管，位于河北省南部、太行山东麓，晋、冀二省交界地带，处在京津冀、中原经济区两大国家战略“交汇叠加区”，距晋冀鲁豫四个省会城市均在200公里左右。武安市是一座以工业为主的新兴城市，矿产资源以铁、煤矿为主，是全国58个重点产煤县（市）和全国四大富铁矿基地之一，总面积1806平方千米，

武安市下辖13个镇，9个乡，总人口84万（2021年 [36]  ）是著名的地方戏曲之乡、古代冶炼之乡、中国小米之乡、全国百强市。2006年，联合国教科文组织授予武安“千年古县”称号。 [2] 

2019年，武安市地区生产总值638亿元，财政总收入105亿元，县域经济综合实力位居全国百强第83位。

2021年3月，被授予 2020年河北省村庄清洁行动先进县（市、区）。

12.4.2　布尔函数数量的计算

含k个参数的布尔函数对应真值表的行数是以k呈指数增长的，而不同k元布尔函数的数量增长得更快。要计算k元布尔函数的数量，可以注意到，正如我们所见，每个这样的函数都是由具有2k行的真值表表示的。每一行都会被赋予一个值，要么为TRUE，要么是FALSE。因此，含k个参数的布尔函数的数量就与具有2个值的2k项的分配的数量相同。这一数字是22k。例如，当k=2时，就有222=16个函数，而对k=5，存在225=232，或者说是大约40亿个函数。

在含两个参数的16种布尔函数中，我们已经遇到过其中的两个：AND和OR。其他一些函数中有些是微不足道的，比如不管参数为什么值都为1的函数。不过，还有一些双参数函数是很实用的，而且我们将在本节之后的内容中看到它们。我们还看到了实用的单参数函数NOT，而且大家也经常会用到具有3个或更多参数的布尔函数。

12.4.3　更多逻辑运算符

还有以下4种双参数的布尔函数是非常实用的。

1. 蕴涵（implication），写为→。p→q 的含义是，“如果p 为真，那么q 为真。”对应→的真值表如图12-3所示。请注意，只有在p 一定为真而且q 一定为假的情况下，p→q 才可以为假。如果p 为假，那么p→q 恒为真，而且如果q 为真，则p→q 恒为真。

图 12-3　对应“蕴涵”的真值表

2. 等价（equivalence），写为≡，意思是“当且仅当”，即只有当p 和q 都为真或都为假时，才有p≡q。它的真值表如图12-4所示。另一种看待≡运算符的方式是，它表明左边和右边的操作数具有相同的真值。这就是12.2节中我们在声称p OR((NOT p) AND q)≡(p OR q)时所要表达的意思。

3. NAND运算符，或者说“与非”运算符，是首先对操作数应用AND，然后对得到的结果应用NOT运算符求补。p NAND q 就表示NOT (p AND q)。

4. 类似地，NOR运算符，或者说“或非”运算符，是先对操作数取OR，然后对得到的结果求补，p NOR q 就表示NOT (p OR q)。NAND和NOR的真值表也如图12-4所示。

图 12-4　对应等价、NAND和NOR的真值表

12.4.4　具有多个参数的运算符

一些逻辑运算符可以自然地扩展为接受两个以上参数。例如，不难看出AND是有结合性的，也就是(p AND q) AND r 等价于p AND (q AND r)。因此，形如p1 AND p2 AND…AND pk 的表达式能以任意次序组合，只有在p1、p2、…、pk 都为真TRUE时，它的值才为TRUE。因此我们可以把该表达式写为具有k 个参数的函数

AND(p1 , p2 , … , pk)

它的真值表如图12-5所示。正如我们所见，只有在所有参数都是1时，结果才是1。

图 12-5　对应k 参数AND的真值表

一些运算符的重要性

我们对k 元运算符AND、OR、NAND和NOR特别感兴趣的原因在于，这些运算符是特别容易以电子形式实现的。也就是说，它们是构建“门”（接受k 个输入并产生这些输入的AND、OR、NAND和NOR的电子电路）的简单方式。尽管底层电子技术的细节不在本书要介绍的范围之内，但其思路通俗来说，就是用两种不同的电压表示1和0（即TRUE和FALSE）。其他一些运算符，比如≡和→，就不是很容易用电子方式实现，而我们一般会使用若干个NAND或NOR门来实现它们。不过，NOT运算符既可看作单参数的NAND，也可看作单参数的NOR，因此也是“很容易”实现的。

同样，OR也是具有结合性的，我们可以把逻辑表达式p1 OR p2 OR … OR pk 表示成布尔函数OR (p1,p2,…pk)。对应k 元OR的真值表有2k 行，就像k 元AND的真值表那样。不过，对这一k 元OR的真值表来说，只有p1、p2、…、pk 都被赋值为0的第一行的值才是0，而其余2k-1行的值全为1。

二元运算符NAND和NOR是可交换但不可结合的。因此p1 NAND p2 NAND…NAND pk 这个不含括号的表达式是没有固有含义的。在讲到k 元NAND时，并不表示

p1 NAND p2 NAND…NAND pk

任何可能的分组。而是把NAND (p1,p2,…,pk )定义为

NOT(p1 AND p2 AND…AND pk )

也就是说，只有在p1、p2、…、pk 的值都为1时，NAND (p1,p2,…,pk )的值才是0，对其他2K-1种输入组合而言，其值都为1。

同样，NOR(p1,p2,…,pk )表示NOT (p1 OR p2 OR…OR pk )。只有在p1、p2、…、pk 的值全部是0时，它的值才是1，否则它的值为0。

12.4.5　逻辑运算符的结合性与优先级

我们将用到的优先级次序是

1. NOT（最高）

2. NAND

3. NOR

4. AND

5. OR

6. →

7. ≡（最低）

因此，举例来说，p → p ≡NOT p OR q 被分组为(p → p)≡((NOT p)OR q)。

正如我们之前提过的，AND和OR，以及≡，都是具有结合性和交换性的。如果有必要指定的话，一般会假设它们是从左起组合的。我们一般会明确地给出括号，以防出现歧义，不过→、NAND和NOR这样的运算符在两个或多个相同运算符组成的串中都是从左起组合的。

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