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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

在下一轮处理中，具最小距离的未解决节点是珍珠城，其距离为13。在我们解决珍珠城时，还必须考虑珍珠城的邻居，也就是迈里和瓦西阿瓦。我们可以将到迈里的距离减至33（13和20的和），并将到瓦西阿瓦的距离减至25（13和12的和）。现在的情况就如第(3)列所示。

接下来要解决的是瓦西阿瓦，其距离为25，在当前的未解决节点中是最小的。不过，该节点不允许我们减少到其他节点的距离，所以第(4)列与第(3)列有着相同的距离项。同样，接着要解决迈里，其距离为33，不过它也不能减少任何距离，所以第(5)列的各距离项也与第(4)列的相同。严格地说，必须解决最后一个节点，拉耶，不过最后一个节点不可能影响到其他距离，所以第(5)列就给出了从檀香山到所有6个城市的最短距离。

9.8.1　迪杰斯特拉算法起效的原因

为了证明迪杰斯特拉算法是起作用的，必须假设弧的标号都是非负的。9我们将通过对k的归纳证明，在存在k 个已解决节点时，下列命题成立。

9如果允许标号是负值，我们就可以找到一些迪杰斯特拉算法会给出错误答案的图。

(a) 对每个已解决节点u 来说，dist(u)是从s 到u 的最小距离，而且到u 的最短路径只由已解决节点组成。

(b) 对每个未解决节点u 来说，dist(u)是从s 到u 的任意特殊路径的最小距离，如果不存在这样的路径则为INFTY。

依据。对k=1，s 是唯一的已解决节点。我们将dist(s)初始化为0，这满足了(a)。而对其他每个节点u，如果弧s→u 存在，我们就将dist(u)初始化为该弧的标号，如果不存在就初始化为INFTY。因此，(b)也得到满足。

归纳。现在假设(a)和(b)在k 个节点被解决后还成立，并设v 是第k+1个被解决的节点。我们声明(a)仍然成立，因为dist(v)是从s 到v 的任意路径的最短距离。假设不是，根据归纳假设的(b)部分，当有k 个节点已解决时，dist(v)是到v 的任意路径的最小距离，而且一定存在到距离更短的到v 的非特殊路径。如图9-41所示，这一路径一定会在某个节点w（可能是节点s）离开已解决节点，并行向某个未解决节点u。从那里开始，该路径可能反复进出已解决节点，直到它最终到达节点v。

图 9-41　假设的经过w和u到达v的更短路径

不过，v 被选定为第k+1个已解决节点。这就意味着这时的dist(u)不会小于dist(v)，否则就要选择u 作为第k+1个节点。根据归纳假设的(b)部分，dist(u)是到u 的任意特殊路径的最小距离。不过图9-41中从s 到w 再到u 的路径是条特殊路径，所以该路径的距离至少为dist(u)。因此，假设的经过w 和u 的从s 到v 的更短路径的距离至少为dist(v)，因为该路径从s 到u 那部分的距离已经是dist(u)了，而且有dist(u)≥dist(v)。10因此，(a)对k+1个节点也是成立的，也就是说，当我们将v 纳入已解决节点的行列时，(a)继续成立。

10请注意，所有标号都非负的事实是至关重要的，如果不这样的话，该路径从u 到v 的部分的距离有可能为负值，这样就会得到一条到v 的更短路径。

现在必须证明当把v 添加到已解决节点中时，(b)仍然成立。考虑当把v 添加到已解决节点中时仍然未解决的某个节点u。在到u 的最短特殊路径上，肯定存在某倒数第二个节点，这个节点既可能是v 也可能是其他某个节点w。这两种可能如图9-42所示。

图 9-42　到u 的最短特殊路径上倒数第二个节点是什么

首先假设倒数第二个节点是v。那么图9-42中所示从s 到v 再到u 的路径的长度就是dist(v)加上弧v→u 的标号。

另外，假设倒数第二个节点是其他某节点w。根据归纳假设(a)，从s 到w 的最短路径只由v 之前的已解决节点组成，因此，v 没有出现在这条路径上。所以，当把v 添加到已解决节点中时，到u 的最短特殊路径不会改变。

现在回想一下，当解决v 时，会把每个dist(u)值调整为dist(u)的旧值与dist(v)加上弧v→u 的标号这两者中的较小者。前者表示的是除v 之外的某个节点w 作为倒数第二个节点的情况，而后者则是v 为倒数第二个节点的情况。因此，(b)部分也成立，这样就完成了归纳步骤。

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