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正定县，河北省石家庄市辖县，位于太行山东麓的山前倾斜平原、山前冲积扇的中上部，因“真正安定”之意得名 [1-2]  ；正定县位于东经114°23′~114°43′，北纬38°6′~38°22′，总面积486平方千米，气候型为温带季风气候，四季分明，多年平均气温13.1℃，多年平均降水量550毫米 [3]  ；截至2020年10月，正定县下辖2个街道、3个镇和5个乡，境内设有中国（河北）自由贸易试验区正定片区和正定新区；截至2019年末，正定县常住人口为51.7万人 [1]  。

正定县前身为真定县，有1600多年的建城史，最初为鲜虞国都城，后为中山国都城，建县始于秦始皇统一中国后设立的东垣县，“真定”一名始于汉高祖十一年（前196年）改东垣县为真定县，最终于清雍正元年（1723年）改为现名 [2]  。正定县是京津冀城市群、石家庄都市圈的重要城镇，境内建有石家庄正定国际机场，有京广高速铁路过境 [4]  。正定县有“九楼四塔八大寺，二十四座金牌坊”，有“古建艺术宝库”美称 [1]  。

2020年上半年，正定县财政收入为35.7亿元，同比增长5.8%；一般公共预算收入为26.9亿元，同比增长10.1%；固定资产投资为116.2亿元，同比增长11%；服务业增加值为100.3亿元，同比增长11%；规模以上高新技术产业增加值达5.9亿元，同比增长18%；社会消费品零售总额达40.8亿元，同比增长10%；外贸进出口总额达91亿元，同比增长366%；城乡居民人均可支配收入分别为18146元和10260元，同比增长8.2%和8.7% [5]  。

示例 9.25

考虑一下图9-10中瓦胡岛的地图。假设想要找出从迈里到卡内奥赫的最小距离，有若干路径可供我们选择。有一个实用的观点，只要弧的标号是非负的，那么最小距离路径中就绝对不会有环路。我们可以跳过环路，并在同样的两个节点间找到一条距离不超过含环路路径距离的路径。因此，我们只需要考虑如下路径。

1. 经过珍珠城和檀香山的路径。

2. 经过瓦西阿瓦、珍珠城和檀香山的路径。

3. 经过瓦西阿瓦和拉耶的路径。

4. 经过珍珠城、瓦西阿瓦和拉耶的路径。

这些路径的距离分别是44、51、67和84。因此，从迈里到卡内奥赫的最小距离是44。

如果想找到从某给定节点（称为源节点）到图中所有节点的最小距离，可以使用的最有效的技巧之一就是迪杰斯特拉算法，这也就是本节的主题。事实证明，如果我们想要的就是从一个节点u 到另一个节点v 的距离，最佳方式就是以u 为源节点运行迪杰斯特拉算法，并在得出到v 的距离时停止算法。如果我们想找到每个节点对之间的最小距离，就要用到9.9节中将要介绍的算法，弗洛伊德算法，该算法有时要比以每个节点为源节点运行迪杰斯特拉算法更值得选择。

迪杰斯特拉算法的本质就是，我们按照这些最小距离从小到大的次序，也就是最近的节点最先的次序，找到从源节点到其他节点的最小距离。随着迪杰斯特拉算法的进行，就有了类似图9-39所示的情形。在图G 中，存在某些特定的节点是已解决的，也就是说，它们的最小距离是已知的，这一集合总包括源节点s。对未解决的节点v，我们要记录最短特殊路径的长度，所谓特殊路径，就是从源节点出发，只经过已解决节点，然后在最后一步跳出已解决区域直接到达v 的路径。

我们要为每个节点u 记录dist(u)值。如果u 是已解决节点，那么dist(u)就是从源节点到u 的最短路径的长度。如果u 不是已解决的，那么dist(u)就是从源节点到u 的最短特殊路径的长度。一开始，只有源节点是已解决的，而且dist(s)=0，因为只由s 自己构成的路径的长度肯定是0。如果存在从s 到u 的弧，那么dist(u)就是该弧的标号。请注意，在只有s 是已解决节点时，特殊路径只包含那些从s 出发的弧，所以如果存在从s 到u 的弧，dist(u)就应该是弧s→u 的标号。我们还将使用定义的常量INFTY，该常量要比图G 中任意路径的距离都要大。INFTY是作为“无限的”值使用的，表示尚未发现特殊路径。也就是说，如果一开始不存在弧s→u，就有dist(u)=INFTY。

图 9-39　迪杰斯特拉算法执行过程中的中间阶段

现在假设我们有些已解决节点和一些未解决节点，如图9-39所示。我们发现节点v是未解决的，但在所有未解决节点中具有最小的dist值。可以通过以下方式“解决”v。

(1) 接受dist (v )作为从s 到v 的最小距离。

(2) 对所有尚未解决的节点u，调整dist (u )的值，以表明v 现在已解决这一事实。

第(2)步所要求的调整如下所述。我们要对dist (u )的旧值与dist (v )加上弧v→u 的标号的和进行比较，如果后者所述的和较小，就将dist (u )替换为该和。如果不存在弧v→u，就不用调整dist (u )。

示例 9.26

考虑一下图9-10中的瓦胡岛地图。该图是无向图，不过可以假设图中的边是两个方向上的弧。设源节点为檀香山。那么一开始，只有檀香山是已解决的，而且其距离为0。我们可以将dist（珍珠城）置为13并将dist（卡内奥赫）置为11，不过对其他城市来说，没有从檀香山出发到这些城市的弧，所以它们与檀香山的距离就是INFTY。这种情形如图9-40的第一列所示。距离值上的星号表示该节点是已解决的。

dist 的值

图 9-40　迪杰斯特拉算法执行过程中的各个阶段

在这些未解决节点中，具有最小距离的节点现在为卡内奥赫，所以这节点就是已解决的。存在从卡内奥赫到檀香山和拉耶的弧。到檀香山的弧是派不上用场的，不过dist（卡内奥赫）的值11，加上从卡内奥赫到拉耶的弧的标号24，总共为35，要小于当前dist（拉耶）的值——“无限大”。因此，在第二列中，我们已经把到拉耶的距离减小到35。而卡内奥赫现在是已解决节点了。

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