赵县网站制作要多少钱【域名企业邮箱服务器注册申请办理】赵县网络优化公司哪家好、赵县软件开发外包价格、赵县高端企业网站页面制作设计专业公司、赵县微信公众号小程序购物支付搭建制作公司

赵县网站制作要多少钱【域名企业邮箱服务器注册申请办理】赵县网络优化公司哪家好、赵县软件开发外包价格、赵县高端企业网站页面制作设计专业公司、赵县微信公众号小程序购物支付搭建制作公司

赵县，隶属于河北省石家庄市，古称赵州，地处石家庄市区东南40公里，总面积为675平方公里，总人口61.3万（2017年），辖11个乡镇、281个行政村。县府驻赵州镇。汉为平棘县，晋为赵国，北魏置赵郡，曾为赵州治，隋改为赵州。1913年改为赵县。赵县历史悠久，文物众多，共有文物保护单位21处。

县境位于河北平原，光热充足，地下水丰富，利于井灌，又有石津渠灌溉之利，一年四季分明，春秋两季时间短，夏冬两季时间长。东部为沙质褐土，适于雪花梨生长。赵县农业发达，玉米、小麦是主要粮食产品。特产雪花梨俗称象牙梨，个大，皮薄、汁多、含糖分高，成熟后洁白如雪，故名，是河北省大宗出口的优质水果之一。

2018年12月27日，经河北省人民政府研究，同意灵寿县、赵县、阳原县县城为河北省园林县城。 [1]  2019年3月，被列为第一批革命文物保护利用片区分县名单。

(a)边ei 有着最高的标号。那么Q 上的所有边都在{e1，…，ei-1}中。请记住，T 和K 在ei 之前的所有边都是一样的，所以Q 中所有的边也是K 中的边。不过ei 也在K 中，这表示K 是一条环路。因此我们排除了ei 的标号比Q 中任何边的标号都高的可能。

(b)路径Q 上的某边f 的标号比ei 的标号高。假设f 连接节点w 和x。图9-25展示了树T 中的这种情况。如果将边f 从T 中删除，并加上边ei，就不会形成环路，因为路径Q 因f 被删除而中断了。得到的边的集合权要比T 低，因为f 有着比ei 更高的标号。我们声明得到的这些边仍然连通所有节点。要知道原因，请注意w 和x 仍然是连通的，有一条路径沿着Q 从w 到u，然后沿着边ei，然后再沿着路径Q 从v 到x。因为{w，x }是唯一一条被删除的边，如果它的终点仍然是连通的，那么显然所有节点都是连通的。因此，边的新集合是生成树，而它的存在与T 是最小生成树的假设相矛盾。

现在就已经证明了ei 不可能在K 中而不在T 中。这样就排除了第二种情况。因为ei 不可能在T 和K 中，所以可以得出结论，K 其实就是最小生成树T。也就是说，克鲁斯卡尔算法总是能找到最小生成树。

图 9-25　路径Q（实线）在T 中，我们可以将边ei 添加到T 中并删除边f

9.5.3　克鲁斯卡尔算法的运行时间

假设对某一含n 个节点的图运行克鲁斯卡尔算法。就像9.4节那样，设m 是节点数与边数的较大者，但请记住，通常边数是较大者。假设该图是用邻接表表示的，这样就可以在O(m)的时间内找到所有的边。

首先，必须用标号为边排序，如果使用了诸如归并排序这样的高效排序算法，就要花上O(m logm)的时间。接着要考虑这些边，花上O(m logn)的时间进行所有的合并与寻找，就像在9.4节中讨论过的那样。因此看起来克鲁斯卡尔算法的总运行时间是O(m(logn+logm))。

不过，要注意到m≤n2，因为只存在n(n-1)/2个节点对。因此，logm≤2logn，这样一来m(logn+logm)≤3m logn。因为在大O 表达式中常数因子是可以省略掉的，所以可以得出结论：克鲁斯卡尔算法的运行时间是O(m logn)。

9.5.4　习题

1. 如果瓦西阿瓦被选为根节点，画出表示图9-22的树。

2. 使用克鲁斯卡尔算法为边和标号都如图9-21（见9.4节习题）所示的各分支找到最小生成树。

3. ** 证明，如果图G 是有n 个节点的无向连通图，而且T 是G 的生成树，则T 有n-1条边。提示：我们需要对n 进行归纳。难点在于证明T 一定有某个度为1的节点v，也就是说，T 刚好只有一条边含节点v。考虑如果对每个节点u 都至少有两条T 的边含有u 会发生什么。沿着边进出一系列的节点，最终会找到一条环路。因为假设T 是生成树，所以它不可能含有环路，这样一来就形成矛盾了。

4. * 一旦我们选定了n-1条边，就不需要考虑将更多的边纳入该生成树了。描述克鲁斯卡尔算法的一个变种，它不会为所有边排序，但会将它们放入优先级队列中，将边标号的相反数作为其优先级（也就是最短的边会首先被deleteMax 选中）。证明，如果生成树可以在前m/logm 条边中找到，那么这一版本的克鲁斯卡尔算法就只需要花O(m)的时间。

5. * 假设为图G 找到了最小生成树T，然后向G 添加权为w 的边{u，v }。在什么情况下T 仍是新图的最小生成树？

6. ** 无向图G 的欧拉回路是起止点为同一节点而且刚好含有图G 中每条边一次的路径。

(a) 证明，当且仅当每个节点都为偶数度时，无向连通图含有欧拉回路。

(b) 设G 是有m 条边而且每个节点都为偶数度的无向图。给出运行时间是O(m)的为图G 构建欧拉回路的算法。

9.6　深度优先搜索

我们现在要描述一种对有向图而言很实用的图探索方法。在5.4节中我们讨论过树的前序遍历和后序遍历，其中从根节点开始，递归地探索了访问过的每个节点的子节点。我们几乎可以将同样的思路应用到任意有向图上。①从任意节点出发，可以递归地探索其后继。

不过，必须小心图中存在环路的情况。如果存在环路，我们可能会绕着环路永远地递归调用探索函数。例如，考虑图9-26中的图。从节点a 开始，我们可能决定接下来探索节点b。从b 出发可能会先探索c，然后从c 出发可能要先探索b。这样就会导致无限递归，反复地探索b 和c。其实，我们选择按照什么次序探索b 和c 的后继是不重要的。要么会困在其他的环路中，要么最终会无限地从b 探索c 并从c 探索b。

图 9-26　有向图的示例

这一问题有个简单的解决方案：在访问节点的过程中为其做上标记，并永不再次访问标记过的节点。这样一来，我们从起始节点起可以到达的任何节点都会被探索到，而之前已经访问的节点不会被再次访问。我们将看到这种探索所花的时间是与被探索的弧的数量成比例的。

这种搜索算法叫作深度优先搜索，因为我们会尽可能快地行进到离初始节点尽可能远（尽可能“深”）的节点。这可以通过一种简单的数据结构实现。这里要再次假设使用NODE类型为节点命名，而且该类型就是int类型。我们用邻接表表示弧。因为需要为每个节点添加一个“标记”，其值是从VISITED和UNVISITED中二选一，所以要创建一个结构体数组来表示该图。这些结构体要同时包括这里所说的标记以及邻接表的表头。

enum MARKTYPE {VISITED, UNVISITED};typedef struct {
    enum MARKTYPE mark;
    LIST successors;} GRAPH[MAX];复制代码

其中LIST为邻接表，是按照以下习惯方式定义的

typedef struct CELL *LIST;struct CELL {
    NODE nodeName;
    LIST next;};复制代码

一开始要将所有的节点标记为UNVISITED。图9-27所示的递归函数dfs(u,G)会处理某幅在外部定义的GRAPH类型的图G 中的节点u。

在第(1)行我们将u 标记为VISITED，这样就不用再次对它调用dfs了。第(2)行会初始化指针p，它指向节点u 的邻接表的第一个单元。第(3)行至第(7)行的循环会带p 沿着邻接表向下行进，依次考虑u 的各后继v。

     void dfs(NODE u, GRAPH G)
     {
         LIST p; /* 沿着u对应的邻接表下行 */
         NODE v; /* 由p指向的单元中存放的节点 */(1)      G[u].mark = VISITED;(2)      p = G[u].successors;(3)      while (p != NULL) {(4)          v = p->nodeName;(5)          if (G[v].mark == UNVISITED)(6)              dfs(v, G);(7)          p = p->next;
         }
     }复制代码

图 9-27　递归的深度优先搜索函数

第(4)行会将v 置为节点u“当前”的后继。在第(5)行，我们会测试v 之前是否已经被访问过。如果是，就跳过第(6)行的递归调用并在第(7)行中将p 移动到邻接表的下一个单元。不过，如果v 从未被访问过，就要在第(6)行从节点v 开始进行深度优先搜索。最后，完成对dfs(v,G)的调用。然后执行第(7)行，让p 沿着u 的邻接表向下移动并进行循环。

示例 9.18

假设G是图9-26所示的图，而且为了简化问题，假设各邻接表中的节点都是按照字母表顺序排列的。一开始，所有节点都会被标记上UNVISITED。调用dfs(a)，7节点a 在第(1)行会被标记为VISITED，而且我们在第(2)行要初始化指针p，它指向a 的邻接表的第一个单元。在第(4)行v 被置为b，因为b 是第一个单元中的节点。由于b 当前处于未被访问的状态，所以第(5)行的测试会成功，并且要在第(6)行调用dfs(b)。

7在接下来的内容中，我们将省略dfs的第二个参数，因为它永远都是图G。

现在，要以b 为参数开始一次对dfs的新调用，而u=a 的旧调用处于休眠状态而并未终止。因为c 是b 的邻接表中的第一个节点，所以在第(4)行c 成了v 的值。节点c 是未访问过的，所以我们在第(5)行会成功并在第(6)行调用dfs(c)。

赵县网站制作要多少钱【域名企业邮箱服务器注册申请办理】赵县网络优化公司哪家好、赵县软件开发外包价格、赵县高端企业网站页面制作设计专业公司、赵县微信公众号小程序购物支付搭建制作公司