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赵县，隶属于河北省石家庄市，古称赵州，地处石家庄市区东南40公里，总面积为675平方公里，总人口61.3万（2017年），辖11个乡镇、281个行政村。县府驻赵州镇。汉为平棘县，晋为赵国，北魏置赵郡，曾为赵州治，隋改为赵州。1913年改为赵县。赵县历史悠久，文物众多，共有文物保护单位21处。

县境位于河北平原，光热充足，地下水丰富，利于井灌，又有石津渠灌溉之利，一年四季分明，春秋两季时间短，夏冬两季时间长。东部为沙质褐土，适于雪花梨生长。赵县农业发达，玉米、小麦是主要粮食产品。特产雪花梨俗称象牙梨，个大，皮薄、汁多、含糖分高，成熟后洁白如雪，故名，是河北省大宗出口的优质水果之一。

2018年12月27日，经河北省人民政府研究，同意灵寿县、赵县、阳原县县城为河北省园林县城。 [1]  2019年3月，被列为第一批革命文物保护利用片区分县名单。

9.5　最小生成树

连通分支问题有个很重要的推广，其中给定了以数字（整数或实数）作为边标号的无向图。我们不仅要找到连通分支，而且要为各分支找到连接分支中各节点的树。此外，该树一定是最小的，意味着边标号的和是尽可能小的。

这里讨论的树与第5章讨论过的树不太一样。这里的树中没有节点会被指定为根节点，而且没有子节点或子节点次序的概念。本节中提到“树”时，指的是没有根没有次序的树，就是那些不含简单环路的无向图。

无向图G 的生成树是由G 的节点与G 的边的子集按照如下要求一起构成的。

1. 连通节点，也就是说，任意两个节点之间都存在只用生成树中的边构成的路径。

2. 形成无根且无次序的树，也就是说，树中没有（简单）环路。

如果G 是单个连通分支，就总是存在生成树。最小生成树是给定图对应的任意生成树中边标号的和最小的那个。

示例 9.16

设图G 是如图9-4或图9-10所示对应瓦胡岛的连通分支。图9-22展示了一种可能的生成树。它是通过删除{迈里，瓦西阿瓦}和{卡内奥赫，拉耶}这两条边并剩下其余5条边形成的。这棵树的权（也就是边标号之和）为84。正如我们将要看到的，这不是最小值。

图 9-22　对应瓦胡岛的生成树

有根树与无根树

无根树的概念似乎不应该很奇怪。其实我们可以从无根树中任选一个节点作为根节点。这样就为所有的边给出了远离根节点，或者是从父节点到子节点的方向。从物理意义上讲，这就像是从无根树的某个节点提起该树，让该树其他部分从选定的节点处吊起来。例如，可以将珍珠城作为图9-22所示生成树的根节点，它就成了下面这样

如果愿意的话，可以为每个节点的子节点排定次序，不过这种次序是任意的，与原来的无根树之间没有关系。

9.5.1　找到最小生成树

有多种用于找到最小生成树的算法。我们将研究其中一种，名为克鲁斯卡尔算法（Kruskal's algorithm），它是对9.4节中讨论过的寻找连通分支算法的一种简单扩展。需要进行的修改如下所述。

1. 需要按照边标号的递增次序考虑这些边。我们在示例9.14中刚好选择了这种次序，不过对连通分支而言这不是必要的。

2. 在考虑边时，如果边的两个端点在不同分支中，就要选择该边构成生成树并且合并两个分支，正如9.4节的算法中所做的。否则，就不选择这条边构成生成树，当然也就不用合并分支。

示例 9.17

Acme Surfboard Wax 公司在如图9-4所示的13个城市中都有办公地点。它希望从电话公司租用专用的数据传输线路，我们假设电话线路是沿着图9-4中的边表示的公路架设的。在不同的岛屿之间，该公司必须使用卫星传输，而成本与分支数量是成正比的。不过，对地面传输线路来说，电话公司是按里程收费的。5 6因此，我们希望为图9-4所示的图中各连通分支找出最小生成树。

5这是一种为租用的电话线路收费的可行方式。人们可以找出连接这些所需场所的最小生成树，且收费是根据该树的权得出的，而不用考虑提供电话连接的实际方式。

6请注意，如果将树中的弧看作存在从父节点到子节点的方向，树就可以被当作有向图的一个特例。其实，树还总是无环图。

如果按照分支分开这些边，就可以分别为各分支运行克鲁斯卡尔算法。不过，如果我们尚不知道有哪些分支，就必须将所有的边放在一起考虑，从最小的标号开始，按照图9-14的次序进行。正如9.4节中那样，我们先从由节点本身构成的分支中的各节点开始。

首先考虑标号最小边{卡内奥赫，檀香山}。这条边将这两个城市合并到一个分支中，而且因为我们执行了合并操作，所以就选择了该边用来构成最小生成树。2号边是{瓦西阿瓦，珍珠城}，而且因为这条边也是合并了两个分支，所以它也被选来构成该生成树。同样，第三条边{珍珠城，檀香山}和第四条边{瓦西阿瓦，迈里}也合并了分支，因此也被放入生成树。

第五条边{卡胡卢伊，凯奥凯阿}合并了这两个城市，而且也被接纳到生成树中，虽然这条边是要成为表示毛伊岛分支的生成树的一部分，而不是和前四条边那样是瓦胡岛分支的一部分。

第六条边{迈里，珍珠城}连接着已经出现在同一分支中的两个城市。因此，该边会被生成树拒之门外。即便我们必须选择某条标号更大的边，也不能选择{迈里，珍珠城}，因为这样一来就会在迈里、瓦西阿瓦和珍珠城间形成一条环路。在生成树中是不可以有环路的，所以这3条边中必须有一条被排除在外。随着我们按照标号的次序考虑这些边，最后的边肯定有着最大的标号，也是最佳方案要排除掉的。

第七条边{拉海纳，卡胡卢伊}和第八条边{拉耶，卡内奥赫}都被生成树接纳，因为它们合并了分支。而9号边{拉耶，瓦西阿瓦}会因为它的端点在同一分支中而不被接受。我们会接受10号边和11号边，它们形成了表示“大岛”分支的生成树，而且我们会接纳12号边以完成毛伊岛分支。13号边不会被接纳，因为它连接的科纳和希洛已经被10号边和11号边连接到同一分支中了。得到各分支的生成树如图9-23所示。

图 9-23　图9-4所示的图对应的生成树

9.5.2　克鲁斯卡尔算法起效的原因

可以证明，克鲁斯卡尔算法可为某给定图生成权最小的生成树。设G 是无向连通图。简便起见，如果需要，我们会为某些标号加上一些极小的量，使得所有标号都是不同的，而且添加的各极小量的和要小于G 中任意不同标号之间的差。这样一来，带有新标号的G 就会有唯一的最小生成树，它将会是带原有权的G 所有最小生成树中的一棵。

接着，设e1、e2、…、em 是G 的所有边，而且是按照标号从小到大的顺序排列的。请注意，这个次序也是克鲁斯卡尔算法处理这些边依照的次序。设K 是带有用克鲁斯卡尔算法生成的调整后标号的图G 对应的生成树，并设T 是G 唯一的最小生成树。

我们要证明K 和T 其实是相同的。如果它们是不同的，一定至少存在一条边在其中一棵树而不在另一棵中。设ei 是这一系列边中第一条这样的边，也就是说，e1、…、ei-1要么同在K 和T 中，要么都不在K 和T 中。这里有两种情况，取决于ei 是在K 中还是在T 中。我们在每种情况下都能得出矛盾，因此就能得出ei 是不存在的，因此K=T，而且K 是G 的最小生成树。

贪婪有时是有用的

克鲁斯卡尔算法是贪婪算法的一个好例子，在贪婪算法中我们会做出一系列的决定，每次都做出当时最佳的选择。这些局部的决定是决定哪条边要被添加到正在成形的生成树中。在各情况下，我们都要选择那条标号最小但又不会因为产生环路而破坏“生成树”定义的边。通常，局部最优选择的整体效果不是全局上最适合的。然而，在克鲁斯卡尔算法的情况中，可以证明结果从全局上讲也是最佳的，也就是一棵权最小的生成树。

情况1。边ei 在T 中而不在K 中。如果克鲁斯卡尔算法不接受ei，那么ei 肯定与之前为K 选择的边中某路径P 形成了环路，如图9-24所示。因此，组成P 的边都能在e1、…、ei-1中找到。不过，T 和K 对这些边是一致的，也就是说，如果P 的边在K 中，那么这些边也在T 中。不过因为T 中含有ei，P 加上ei 就在T 中形成了环路，这与我们说T 是生成树的假设是矛盾的。因此，ei 在T 中而不在K 中是不可能的。

图 9-24　路径P（实线）在T和K中，边ei只在T中

情况2。边ei 在K 中而不在T 中。设ei 连接了节点u 和v。因为T 是连通的，所以在T 中节点u 和v 之间一定存在某条无环路径，假设称其为Q。因为Q 没有用到边ei，所以Q 加上ei 在图G 中形成了简单环路。这里存在两种子情况，具体取决于ei 的标号是否比路径Q 上所有边的标号都大。

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