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衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2]  衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5] 

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2]  [6-8] 

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

在计算机科学中，我们常需要为事物计数，并度量事件的可能性。计数属于数学中的组合学分支，而度量事件的可能性则属于概率论的范畴。本章要介绍这两个领域的基本原理。我们会了解到一些问题的答案，诸如程序中有多少条执行通路（execution path），或给定通路出现的可能性有多大等。

4.1　本章主要内容

本章给出了一系列越来越复杂的情况，每种情况都通过一个简单的范例问题说明，借此对组合（或“计数”）加以研究，而且会为每个问题推导出用于确定可能结果数量的公式。要研究的问题包括以下几个。

• 为分配计数（4.2节）。范例问题是：用k 种颜色为n 所房屋粉刷共有多少种不同方式。

• 为排列计数（4.3节）。范例问题是：确定n 个不同项能构成多少种不同的次序。

• 为有序选择计数（4.4节），也就是从n 个不同事物中选出k 个，并按次序排列这k 个事物。范例问题是：计算赛马比赛中不同马匹获得前三名的排列方法数。

• 为n 个事物中的m 个的组合计数（4.5节），也就是从n 个不同对象中选择m 个，而不考虑被选取对象的次序。范例问题是：为可能的扑克牌型计数。

• 为具有某些重复项的排列计数（4.6节）。范例问题是：计算某些字母多次出现的单词的变位词的数量。

• 为分发容器中对象（可能具有重复对象）的方法计数（4.7节）。范例问题是：为给小朋友分发水果的方法计数。

本章的后半部分要讨论的是概率论，涵盖以下主题。

• 基本概念：概率空间、实验、事件、事件概率。

• 条件概率与事件独立性。这些概念可帮助我们了解，对一次实验结果（比如纸牌的牌面图案）的观察会怎样影响未来事件的概率。

• 概率推理和方法。通过这些推理和方法，可从与事件的概率及条件概率相关的有限数据中，估算出事件组合的概率。

我们还将讨论概率论在计算机领域的一些应用，包括根据数据进行或然性推理的系统，以及一类“有很大概率”有效但不保证一直有效的算法。

4.2　为分配计数

一种简单却极重要的计数问题是处理一组项，为每一项指定某一组固定值中的某个值。我们需要确定可能有多少种将值分配给项的方式。

示例 4.1

图4-1展示了一个典型的例子，其中有并排4所房屋，而且可将每所房屋粉刷成红、绿、蓝这三种颜色中的一种。在本例中，房屋就是之前所提到的“项”，而颜色就是“值”。图4-1展示了一种可能的颜色分配方式，其中第一所房屋被刷成红色，第二所和第四所被刷成蓝色，而第三所被刷成绿色。

图 4-1　房屋颜色分配的一种方式

要回答“有多少种不同分配方式”，首先需要定义我们所说的“分配”具有何种含义。在本例中，一种分配方式就是一个具有4个值的表，其中每个值都是从红、绿、蓝这3种颜色中任选其一。接下来要分别用字母R、G 和B 来表示这3种颜色。而当且仅当两个这样的表至少有一个位置不同时，我们称这两个表是不同的。

在这个房屋与颜色的例子中，可以为第一所房屋任选三种颜色之一。不管为第一所房屋选择了什么颜色，在粉刷第二所房屋时还是有这三种选择。因此粉刷前两所房屋的方式有9种，对应着9个不同的字母对，每个字母都是R、G 和B 这三者之一。类似地，对前两所房屋所具有的9种分配方式的每一种而言，都可以为第三所房屋在三种颜色中任选其一。这样一来，前三所房屋的粉刷方式就达到了9×3=27种。最后，这27种分配方式中对应的第四所房屋又都能在三种颜色中任选其一，因此总共有27×3=81种粉刷房屋的方式。

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