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衡水，河北省地级市，位于河北省东南部，介于东经115°10′-116°34′，北纬37°03′-38°23′之间，东部与沧州市和山东省德州市毗邻，西部与石家庄市接壤，南部与邢台市相连，北部同保定市和沧州市交界，总面积8815平方公里。 [1-2]  衡水市地处河北冲积平原，地势自西南向东北缓慢倾斜，海拔高度12米～30米。属大陆季风气候区，为温暖半干旱型，是京津重要的农副产品加工供应基地。衡水属于环渤海经济圈和首都经济圈的“1+9+3”计划京南区，为环渤海区域合作市长联席会议成员市，被费孝通称为“黄金十字交叉处”。 [2-5] 

衡水所辖冀州为九州之首。河北省称冀，也缘于此，涌现出了董仲舒、孔颖达、高适、孙犁等知名人物。截至2016年，衡水有国家级非物质文化遗产保护项目6项，省级非遗保护项目33项，市级非遗保护项目55项，境内有衡水湖、武强年画博物馆、冀州城等旅游景点。 [2]  [6-8] 

截至2019年末，衡水市辖2个市辖区，1个县级市，8个县，户籍人口457.8万人，常住人口448.6万人；实现生产总值1504.9亿元，人均生产总值33599元。 2019年10月23日，被确定为“第三批城市黑臭水体治理示范城市”。

.11.3　习题

1. 设T(n)是由如下递推关系定义的

对n>1，T(n)=T(n-1)+g(n)

通过对i的归纳证明，如果1≤i≤n，那么

2. 假设有如下形式的递推关系

T(1)=a

对n>1，T(n)=T(n-1)+g(n)

如果g(n)分别是

(a) n2

(b) n2+3n

(c) n3/2

(d) nlogn

(e) 2n

给出解的紧大O上界。

3. 假设有如下形式的递推关系

T(1)=a

当n是2的乘方且n>1时，T(n)=T(n/2)+g(n)

如果g(n)分别是

(a) n2

(b) 2n

(c) 10

(d) nlogn

(e) 2n

给出解的紧大O上界。

4. *将下列各项作为如下递推关系的解进行猜测。

T(1)=a

当n是2的乘方且n>1时，T(n)=2T(n/2)+bn

(a) cn log2n+dn+e

(b) cn+d

(c) cn2

这暗示了未知常数c、d 和e 所具有的哪些约束？对哪些形式而言，存在T(n)的上界？

5. 证明：如果我们为示例3.28中的递推关系猜测G(n)≤c 2n，那么将没法找到解。

6. * 证明：如果

T(1)=a

对n>1，T(n)=T(n-1)+nk

那么T(n)是O(nk)。大家可以假设k≥0。证明这是T(n)的最紧简单大O上界，也就是说，如果m< k+1，T(n)就不是O(nm)了。提示：用T(n-i)（其中i=1、2、…）展开T(n)，从而得到上界。要得到下界，就要证明对某个特定的c>0而言，T(n)至少是cnk+1。

7. ** 证明：如果

T(1)=a

对n>1，T(n)=cT(n-1)+P(n)

其中p(n)是n的任意多项式且c>1，那么T(n)是O(cn)。还有，证明这是最紧简单大O上界，也就是说，如果d< c，那么T(n)不是O(dm)。

8. ** 考虑递推关系

T(1)=a

当n是d的乘方时，T(n)=cT(n/d)+bnk

用T(n/di)（其中i=1、2、…）迭代地展开T(n)，证明

(a) 如果c>dk，那么T(n)是O(nlogdc)

(b) 如果c=dk，那么T(n)是O(nk logn)

(c) 如果c< dk，那么T(n)是O(nk)

9. 求解以下递推关系，其中每个关系都有T(1)=a。

(a) 当n是2的乘方且n>1时，T(n)=3T(n/2)+n2

(b) 当n是3的乘方且n>1时，T(n)=10T(n/3)+n2

(c) 当n是4的乘方且n>1时，T(n)=16T(n/4)+n2

可能会用到习题(8)中的解答。

10. 求解递推关系

T(1)=a

当n是2的乘方且n>1时，T(n)=3nT(n/2)

11. 斐波那契递推关系是F(0)=F(1)=1，且

对n>1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)

来自该数列的值F(0)、F(1)、F(2)…就是斐波那契数，其中从第3个数起，每个数都是相邻前两个数的和，见3.9节习题(4)。设，该常数r称为黄金比例，而且其值约为1.62。证明：F(n)是O(rn)。提示：对于归纳部分，可以猜测对某个n有F(n)≤arn，并尝试通过对n的归纳证明该不等式。依据必须是由n=0和n=1这两个值组成。在归纳步骤中，可以注意到r满足r2=r+1这一关系。

3.12　小结

以下是本章涵盖的一些重点概念。

• 许多因素会对程序算法的选择产生影响，不过通常简单、易于实现和高效起主导作用。

• 大O表达式提供了一种很方便的程序运行时间上界表示法。

• 在评估C语言复合语句（比如for循环和条件语句）的运行时间时，存在一些递归规则，这些规则是用这些复合语句各组成部分的运行时间表示的。

• 通过绘制表示语句嵌套结构的结构树，并按照从下至上的顺序评估结构树中各部分的运行时间，可以评估函数的运行时间。

• 递推关系是为递归程序运行时间建模的一种自然方法。

• 要为递推关系求解，既可以通过反复代换，也可以通过先猜测解并验证猜测为正确的方式。

分治法是一种重要的算法设计技巧。使用分治法时会将问题分为若干个子问题，这些子问题的解答将会组合成整个问题的解答。可根据一些经验法则来评估由此产生的算法（运行时间为O(1)，且对大小为n-1的子问题调用自身所花时间为O(n)）的运行时间。这种算法的例子包括阶乘函数和merge函数。

• 更为一般的情况是，函数花的时间为O(nk)，而且对大小为n-1的子问题调用自身花的时间是O(nk+1)。

• 如果函数调用自身两次，而递归行进了log2n层（就像归并排序那样），那么总运行时间就是O(n logn)乘上每次调用的开销，再加上O(n)乘上依据部分的开销。在归并排序中，包括依据调用在内，每次调用的开销都是O(1)，所以总运行时间就是O(n logn)+O(n)，或者是O(n logn)。

• 如果函数调用自身两次，而递归行进了n层，就像3.9节习题(4)的斐波那契程序那样，那么运行时间就是指数为n的指数形式。

3.13　参考文献

对程序运行时间及问题计算复杂度的研究始于Hartmanis and Stearns [1964]。Knuth [1968]

这本书使算法运行时间的研究成为了计算机科学的重要部分。 自那时起，大量有关问题难度的理论涌现出来。其中很多关键的概念都能在Aho, Hopcroft, and Ullman [1974, 1983]中找到。在本章中，我们将精力都集中在了程序运行时间的上界上。而 Knuth [1976]则描述了类似的下界表示法以及运行时间的精确边界。

要了解更多有关分治法这种算法设计技巧的讨论，请参考Aho, Hopcroft, and Ullman [1974] 或Borodin and Munro [1975]。更多与求解递推关系的技巧有关的信息可以在Graham, Knuth, and Patashnik [1989]中找到。

Aho, A. V., J. E. Hopcroft, and J. D. Ullman [1974]. The Design and Analysis of Computer Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Aho, A. V., J. E. Hopcroft, and J. D. Ullman [1983]. Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Borodin, A. B., and I. Munro [1975]. The Computational Complexity of Algebraic and Numeric Problems, American Elsevier, New York.

Graham, R. L., D. E. Knuth, and O. Patashnik [1989]. Concrete Mathematics: a Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Knuth, D. E. [1968]. The Art of Computer Programming Vol. I: Fundamental Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass.

Knuth, D. E. [1976].“Big omicron, big omega, and big theta,”ACM SIGACT News 8:2, pp. 18–23.

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